Coefficienti della serie di Fourier
Sto studiando la serie di Fourier e stavo visionando degli esempi di esercizi
Non mi è chiaro un passaggio che si fa durante i coefficienti della serie di Fourier
Per esempio data la funzione f(x) = x , con -pi <= x <= +pi
sappiamo che la funzione è dispari, quindi i coefficienti an = 0
per il coefficiente $ bn = 2/pi *intxsinnx dx $ , dove l'integrale si fa tra 0 e pi
chi ha svolto l'esercizio mi dice che il risultato è $ -(-1)^n 2/n $ , ma non capisco il perchè, cioè svolgendo l'integrale per parti e considerando n un parametro mi trovo una fratta con un seno ed un coseno al numeratore
Altro esempio, f(x) = x^2, mi dice che
$ an = 2/pi int x^2cosnxdx = (-1)^n4/n^2 $
Non mi è chiaro un passaggio che si fa durante i coefficienti della serie di Fourier
Per esempio data la funzione f(x) = x , con -pi <= x <= +pi
sappiamo che la funzione è dispari, quindi i coefficienti an = 0
per il coefficiente $ bn = 2/pi *intxsinnx dx $ , dove l'integrale si fa tra 0 e pi
chi ha svolto l'esercizio mi dice che il risultato è $ -(-1)^n 2/n $ , ma non capisco il perchè, cioè svolgendo l'integrale per parti e considerando n un parametro mi trovo una fratta con un seno ed un coseno al numeratore
Altro esempio, f(x) = x^2, mi dice che
$ an = 2/pi int x^2cosnxdx = (-1)^n4/n^2 $
Risposte
Ad esempio per il caso $f(x)=x^2 $in $[-pi,pi] $ hai che :
$a_0/2=pi^2/3$
$a_n = 2/(pi) int_0^pi x^2cos nx dx$ = ( con 2 integrazioni per parti ottieni) = $ 2/(pi)*(2pi)/(n^2) cos npi =4/n^2 *cos npi $.
Ora $cos npi = +1 $ se n è pari: $cos npi = -1 $ se n è dispari.
Si può allora compattare la risposta sfruttando lo " switch " $(-1)^n $ e si ottiene alla fine $a_n = (-1)^n *4/(pi^2)$
e quindi $x^2 =(pi)^2/3 + sum_(n=1)^oo (-1)^n 4/(n^2)cos nx $ valido $ AA x in [-pi,pi]$.
$a_0/2=pi^2/3$
$a_n = 2/(pi) int_0^pi x^2cos nx dx$ = ( con 2 integrazioni per parti ottieni) = $ 2/(pi)*(2pi)/(n^2) cos npi =4/n^2 *cos npi $.
Ora $cos npi = +1 $ se n è pari: $cos npi = -1 $ se n è dispari.
Si può allora compattare la risposta sfruttando lo " switch " $(-1)^n $ e si ottiene alla fine $a_n = (-1)^n *4/(pi^2)$
e quindi $x^2 =(pi)^2/3 + sum_(n=1)^oo (-1)^n 4/(n^2)cos nx $ valido $ AA x in [-pi,pi]$.
Per quanto riguarda il calcolo di $b_n$ nel primo esempio, procedendo per parti:
$
b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{-x\cos(nx)}{n}|_0^{pi} + \int_0^{\pi}\frac{\cos(nx)}{n}dx.
$
L'ultimo integrale è ovviamente $0$ per ogni $n$.
Il termine $frac{2}{\pi}\frac{-x\cos(nx)}{n}|_0^{pi}$ si annulla quando valuti in $x=0$; per $x=\pi$ hai che $\cos(nx)$ vale $\pm1$ a seconda del valore di $n$. In particolare questo può essere scritto come $(-1)^n$.
$
b_n = \frac{2}{\pi}\frac{-x\cos(nx)}{n}|_0^{pi} = \frac{2}{\pi}\frac{-\pi(-1)^n}{n} = -(-1)^n\frac{2}{\pi}
$
$
b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin(nx)dx = \frac{2}{\pi}\frac{-x\cos(nx)}{n}|_0^{pi} + \int_0^{\pi}\frac{\cos(nx)}{n}dx.
$
L'ultimo integrale è ovviamente $0$ per ogni $n$.
Il termine $frac{2}{\pi}\frac{-x\cos(nx)}{n}|_0^{pi}$ si annulla quando valuti in $x=0$; per $x=\pi$ hai che $\cos(nx)$ vale $\pm1$ a seconda del valore di $n$. In particolare questo può essere scritto come $(-1)^n$.
$
b_n = \frac{2}{\pi}\frac{-x\cos(nx)}{n}|_0^{pi} = \frac{2}{\pi}\frac{-\pi(-1)^n}{n} = -(-1)^n\frac{2}{\pi}
$
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