Coefficiente angolare di segmento tra due rette parallele
Salve, sto da tempo cercando di risolvere questo problema, ma con esiti scarsi e non risolutivi.
testo : Scrivere l'equazione delle rette passanti per C (-5, 4) e che interceettano sulle rette $ x + 2y + 1 = 0 $ e $ x + 2y - 1 = 0 $ un segmento di misura 5.
Ho pensato che avrei dovuto trovare innanzitutto il coefficiente angolare del segmento di lunghezza 5 tra le due rette parallele; successivamente avrei utilizzato questo coefficiente per individuare la retta/le rette giuste dal fascio di rette passanti il punto dato e quindi intersecanti le due parallele.
Ho scelto un punto qualsiasi della parallela superiore ( il punto E (-5, 3) ) e da questo o calcolato la perpendicolare alla seconda parallela inferiore (segmento EQ); ho fatto partire dal punto E il segmento di misura 5 che raggiunge la parallela inferiore (segmento EM); il segmento EQ è un cateto, il segmento EM è l'ipotenusa del triangolo rettangolo EQM.
Ho calcolato:
cateto EQ = $ 2/sqrt(5) $
cateto QM = $ sqrt (5^2 - 4/5) $
Non sono però in grado di calcolare il punto M sulla seconda parallela e di conseguenza nemmeno il coefficiente angolare del segmento EM di misura 5.
Sto seguendo la strada giusta ? Se sì come devo proseguire ? Se no, quale strada devo prendere?
Grazie dell'aiuto e buon week end.
testo : Scrivere l'equazione delle rette passanti per C (-5, 4) e che interceettano sulle rette $ x + 2y + 1 = 0 $ e $ x + 2y - 1 = 0 $ un segmento di misura 5.
Ho pensato che avrei dovuto trovare innanzitutto il coefficiente angolare del segmento di lunghezza 5 tra le due rette parallele; successivamente avrei utilizzato questo coefficiente per individuare la retta/le rette giuste dal fascio di rette passanti il punto dato e quindi intersecanti le due parallele.
Ho scelto un punto qualsiasi della parallela superiore ( il punto E (-5, 3) ) e da questo o calcolato la perpendicolare alla seconda parallela inferiore (segmento EQ); ho fatto partire dal punto E il segmento di misura 5 che raggiunge la parallela inferiore (segmento EM); il segmento EQ è un cateto, il segmento EM è l'ipotenusa del triangolo rettangolo EQM.
Ho calcolato:
cateto EQ = $ 2/sqrt(5) $
cateto QM = $ sqrt (5^2 - 4/5) $
Non sono però in grado di calcolare il punto M sulla seconda parallela e di conseguenza nemmeno il coefficiente angolare del segmento EM di misura 5.
Sto seguendo la strada giusta ? Se sì come devo proseguire ? Se no, quale strada devo prendere?
Grazie dell'aiuto e buon week end.
Risposte
"rosa munda":
Ho pensato che avrei dovuto trovare innanzitutto il coefficiente angolare del segmento di lunghezza 5 tra le due rette parallele
L'idea è buona, però forse per come l'hai sviluppata ti stai complicando la vita
Proverei così: partendo da un punto arbitrario della retta superiore (mettiamo $D(1,0)$), impieghiamo la formula della distanza tra due punti:
$d=sqrt((x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2)=sqrt((1-x_2)^2 + (-y_2)^2)=5$
I punti $P, Z$ che ci permettono di risolvere l'equazione appartengono alla retta inferiore, dalla cui equazione otteniamo
$x=-(1+2y)$
Andando a sostituire, otteniamo un'equazione di secondo grado: i risultati saranno le coordinate $y$ di $P$ e $Z$, e le rispettive coordinate $x$ le possiamo trovare andando a sostituire nell'equazione $x=-(1+2y)$.
Ora possiamo trovare i coefficienti angolari che ci servono attraverso la formula della retta passante per due punti ($D-P$ e $D-Z$) e, una volta ottenuti, inserirli nell'equazione del fascio proprio di rette nel punto $C$.
Ti ringrazio. Ora vado a studiare il tuo suggerimento (non sono molto brillante e ho bisogno di concentrarmi meglio per assorbire. Se avrò dubbi spero di ritrovarti. Grazie di nuovo e buona domenica.
Di nulla, buona domenica anche a te
Ciao, rieccomi - chiedo scusa per il ritardo: ho capito quasi subito la logica del tuo suggerimento (peccato non esserci arrivata !)
Ho fatto i calcoli e purtroppo sono una schiappa e dopo aver controllato più volte e fatte le relative correzioni sono arrivata alla soluzione parziale della prima tappa.
Ho trovato cioè un solo "ramo" dei due segmenti (e quindi una soluzione dell'equazione di 2° grado). Potresti dirmi dove sbaglio?
Ecco i miei dettagliati calcoli :.
$ sqrt((1-x)^2+(-y)^2 = 5) $
$ +-(1-x)^2+(-y)^2 = 25 $
a) $ +1 -2x +x^2+y^2 = 25 $
b) $ -1 +2x -x^2-y^2 = 25 $
-- sviluppo di (a):
$ 1-2 (-1-2y) + (-1-2y)^2 +y^2= 25 $
$ 1+2 +4y +1 +4y +4y^2 +y^2 = 25 $
$ 5y^2+8y-21=0 $
$ Y1 = 14/10 $
$ Y2 = -3 $
-- sviluppo di (b):
$ -1 +2x -x^2 - y^2 = 25 $
$-1+ 2(-1 -2y) -(-1-2y)^2 -y^2 = 25 $
$ -1-2 -4y -(1+4y+4y^2)-y^2 = 25 $
$ -3 -4y -1 -4y -4y^2 -y^2 = 25 $
$ -8y -5y^2 -29 = 0 $
$ 5y^2 +8y +29 = 0 $
$ y = +-8 (sqrt (((64 -25 (29)) / 10) $
No soluzioni per delta inf. 0
Sostituisco il valore di y trovato nella formula della retta inferiore:
c) $ -( 1+ 2(14/10)) $
d) $ -( 1+ 2(-3)) $
c) $ X1 = -3-4/5$
d) $ X2 = + 5 $
Riassumendo:
punto P ($ -3-4/5 , 14/10 $)
punto Z ($ 5 , -3 $)
Ho disegnato sul grafico i due punti per vedere se i segmenti D-P e DZ fossero corretti e misurassero il valore 5 e tutto collima; purtroppo non sono in grado di allegare il grafico fatto sul mio quaderno, scusa.
Ho calcolato quindi il fascio di rette appartenente al punto richiesto $ ( -5 , 4 ) $ e mi corrisponde ad uno dei risultati ( $ 3x + 4y -1 $ ) ma non sono riuscita a trovare anche la seconda retta il cui risultato è $ 7x + 24y - 61 $.
Evidentemente ho sbagliato qualcosa nel calcolo dell'equazione sopra riportata.
Se ti è possibile dirmi dove ho sbagliato, grazie in anticipo e buon week end.
Dove ho commesso l'errore?
Grazie e buona serata.
Ho fatto i calcoli e purtroppo sono una schiappa e dopo aver controllato più volte e fatte le relative correzioni sono arrivata alla soluzione parziale della prima tappa.
Ho trovato cioè un solo "ramo" dei due segmenti (e quindi una soluzione dell'equazione di 2° grado). Potresti dirmi dove sbaglio?
Ecco i miei dettagliati calcoli :.
$ sqrt((1-x)^2+(-y)^2 = 5) $
$ +-(1-x)^2+(-y)^2 = 25 $
a) $ +1 -2x +x^2+y^2 = 25 $
b) $ -1 +2x -x^2-y^2 = 25 $
-- sviluppo di (a):
$ 1-2 (-1-2y) + (-1-2y)^2 +y^2= 25 $
$ 1+2 +4y +1 +4y +4y^2 +y^2 = 25 $
$ 5y^2+8y-21=0 $
$ Y1 = 14/10 $
$ Y2 = -3 $
-- sviluppo di (b):
$ -1 +2x -x^2 - y^2 = 25 $
$-1+ 2(-1 -2y) -(-1-2y)^2 -y^2 = 25 $
$ -1-2 -4y -(1+4y+4y^2)-y^2 = 25 $
$ -3 -4y -1 -4y -4y^2 -y^2 = 25 $
$ -8y -5y^2 -29 = 0 $
$ 5y^2 +8y +29 = 0 $
$ y = +-8 (sqrt (((64 -25 (29)) / 10) $
No soluzioni per delta inf. 0
Sostituisco il valore di y trovato nella formula della retta inferiore:
c) $ -( 1+ 2(14/10)) $
d) $ -( 1+ 2(-3)) $
c) $ X1 = -3-4/5$
d) $ X2 = + 5 $
Riassumendo:
punto P ($ -3-4/5 , 14/10 $)
punto Z ($ 5 , -3 $)
Ho disegnato sul grafico i due punti per vedere se i segmenti D-P e DZ fossero corretti e misurassero il valore 5 e tutto collima; purtroppo non sono in grado di allegare il grafico fatto sul mio quaderno, scusa.
Ho calcolato quindi il fascio di rette appartenente al punto richiesto $ ( -5 , 4 ) $ e mi corrisponde ad uno dei risultati ( $ 3x + 4y -1 $ ) ma non sono riuscita a trovare anche la seconda retta il cui risultato è $ 7x + 24y - 61 $.
Evidentemente ho sbagliato qualcosa nel calcolo dell'equazione sopra riportata.
Se ti è possibile dirmi dove ho sbagliato, grazie in anticipo e buon week end.
Dove ho commesso l'errore?
Grazie e buona serata.
"rosa munda":
Ciao, rieccomi - chiedo scusa per il ritardo
Tranquilla
"rosa munda":
Ecco i miei dettagliati calcoli :.
$ sqrt((1-x)^2+(-y)^2 = 5) $
$ +-(1-x)^2+(-y)^2 = 25 $
Il passaggio corretto è semplicemente
$ sqrt((1-x)^2+(-y)^2)=5 $
$ (1-x)^2+(-y)^2 = 25 $
"rosa munda":
-- sviluppo di (a):
$ 1-2 (-1-2y) + (-1-2y)^2 +y^2= 25 $
$ 1+2 +4y +1 +4y +4y^2 +y^2 = 25 $
$ 5y^2+8y-21=0 $
$ Y1 = 14/10 $
$ Y2 = -3 $
[...]
Sostituisco il valore di y trovato nella formula della retta inferiore:
c) $ -( 1+ 2(14/10)) $
d) $ -( 1+ 2(-3)) $
c) $ X1 = -3-4/5$
d) $ X2 = + 5 $
Riassumendo:
punto P ($ -3-4/5 , 14/10 $)
punto Z ($ 5 , -3 $)
Corretto
"rosa munda":
Ho disegnato sul grafico i due punti per vedere se i segmenti D-P e DZ fossero corretti e misurassero il valore 5 e tutto collima; purtroppo non sono in grado di allegare il grafico fatto sul mio quaderno, scusa.
Ho calcolato quindi il fascio di rette appartenente al punto richiesto $ ( -5 , 4 ) $ e mi corrisponde ad uno dei risultati ( $ 3x + 4y -1 $ ) ma non sono riuscita a trovare anche la seconda retta il cui risultato è $ 7x + 24y - 61 $.
E' tutto giusto, probabilmente devi aver fatto un errore di calcolo - prova di nuovo
Grazie veramente. Riproverò sperando di trovare il bandolo ... sennò posso disturbare di nuovo? Buona domenica.
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