Codominio di una funzione
Ho questa funzione:
$f(x)=(e^x)-x$
devo trovare dominio e codominio.
Per il dominio: è tutto $RR$
Il codominio (io ho provato a fare il grafico con un programma) dovrei vedere le $y$ della funzione, secondo a questo è $(1,+oo)$ ?
$f(x)=(e^x)-x$
devo trovare dominio e codominio.
Per il dominio: è tutto $RR$
Il codominio (io ho provato a fare il grafico con un programma) dovrei vedere le $y$ della funzione, secondo a questo è $(1,+oo)$ ?
Risposte
Si per il codominio, lo puoi trovare disegnando il grafico della funzione (si preferisce che tu lo faccia a mano, però, così ti alleni con lo studio della funzione), oppure visto che la tua funzione ha come variabile indipendente $x$, per trovare il codominio dovresti esprimere tutto in funzione di $y$ e così trovi il codominio. Sono metodi che vanno applicati a seconda delle situazioni. Un altro che me ne viene in mente è studiare il segno della funzione, almeno ti puoi fare un idea dei valori assunti dalla funzione
Aggiungo che basta guardare cosa fanno i limiti a [tex]$\pm \infty$[/tex] per capire qual è il codominio della funzione.
Lascio a clever, che ormai si è immerso nello studio della teoria, la giustificazione rigorosa di quanto ho affermato.
Lascio a clever, che ormai si è immerso nello studio della teoria, la giustificazione rigorosa di quanto ho affermato.
Io provo a fare i limiti:
Tu mi hai detto di fare i limiti per $-oo$ e $+oo$ perchè è come se io dovessi vedere la $y$ rispetto al dominio che è proprio
$RR$ ovvero $(-oo,+oo)$ ?
per $x->+oo$ : $e^x-x$ la trasformo in: $e^x(1-x/e^x)$ applico de Hopital, e viene alla fine di calcolare $x((1/x)+1)=+oo$
mentre per $x->-oo$
$e^x-x$
metto che $e^x=1+x$ per Taylor
e diventa dunque: $1+x-x=1$
quindi il limite è $1$.
infatti il codominio è proprio $(1,+oo)$
giusto?
Tu mi hai detto di fare i limiti per $-oo$ e $+oo$ perchè è come se io dovessi vedere la $y$ rispetto al dominio che è proprio
$RR$ ovvero $(-oo,+oo)$ ?
per $x->+oo$ : $e^x-x$ la trasformo in: $e^x(1-x/e^x)$ applico de Hopital, e viene alla fine di calcolare $x((1/x)+1)=+oo$
mentre per $x->-oo$
$e^x-x$
metto che $e^x=1+x$ per Taylor
e diventa dunque: $1+x-x=1$
quindi il limite è $1$.
infatti il codominio è proprio $(1,+oo)$
giusto?
"clever":
mentre per $x->-oo$
$e^x-x$
metto che $e^x=1+x$ per Taylor
e diventa dunque: $1+x-x=1$
quindi il limite è $1$.
Questo è sbagliato.
Attenzione:
$lim_(x->-infty)(e^x-x)=$
$=lim_(x->+infty)(e^-x-(-x))=$
$=lim_(x->+infty)(1/(e^x)+x)=+infty$
Ecco, e io che volevo barare.
Inizialmente
per $x->-oo$ avevo fatto così:
$e^x->0$
$-x->+oo$
il limite è $+oo$
quindi, ora cosa deduco per il codominio?
Inizialmente
per $x->-oo$ avevo fatto così:
$e^x->0$
$-x->+oo$
il limite è $+oo$
quindi, ora cosa deduco per il codominio?
"clever":
mentre per $x->-oo$
$e^x-x$
metto che $e^x=1+x$ per Taylor
e diventa dunque: $1+x-x=1$
quindi il limite è $1$.
Hai capito perché qui stai "imbrogliando"?
Forse perchè Taylor non si usa in questo tipo di indeterminazioni?
"clever":
Forse perchè Taylor non si usa in questo tipo di indeterminazioni?
Quella sostituzione è valida in un intorno di $0$. Mentre tu stai calcolando il limite per $x -> -oo$.
Ti pare di poter approssimare, in un intorno di $-oo$, la funzione $e^(x)$, il cui grafico si sviluppa solo per nel semipiano positivo delle ordinate, con la retta di equazione $x + 1$ ?
Giusto, avevo dimenticato la condizione di $x->0$
Si, la funzione $e^x$ è sempre positiva.
Ora però non riesco a trarre le mie conclusioni: assodato che per $x->+oo$ mi trovo un $y->+oo$
non mi sarei dovuto trovare anche che per $x->-oo$ mi dovevo trovare $y->1$?
Oltretutto quel $1$ posso trovarmelo con il sistema di $x=0$ e $y=e^x-x$, ma questo come dire è una induzione al contrario, perchè ho già visto il grafico.
Senza sapere il grafico, $1$ come lo ricavavo?
Si, la funzione $e^x$ è sempre positiva.
Ora però non riesco a trarre le mie conclusioni: assodato che per $x->+oo$ mi trovo un $y->+oo$
non mi sarei dovuto trovare anche che per $x->-oo$ mi dovevo trovare $y->1$?
Oltretutto quel $1$ posso trovarmelo con il sistema di $x=0$ e $y=e^x-x$, ma questo come dire è una induzione al contrario, perchè ho già visto il grafico.
Senza sapere il grafico, $1$ come lo ricavavo?
Cercando il minimo della funzione
quindi sarebbe trovare la derivata prima che è: $f'(x)=e^x-1$
$e^x-1=0$
$e^x=1$
$x=0$ $->y=1$
mi trovo.
$e^x-1=0$
$e^x=1$
$x=0$ $->y=1$
mi trovo.
Credo che sia meglio darti una regola generale per lo studio del codominio, che poi tu dovrai applicare al caso in questione.
Ritengo che il percorso migliore da seguire sia di cercare prima il dominio e poi la derivata, in questo modo vedi il comportamento della funzione su tutto il suo dominio e ti accorgi subito se è limitata (cioè se ha massimi o minimi assoluti).
Una volta fatto ciò, decidi se è il caso di fare i limiti agli estremi del dominio: se la funzione è limitata sia superiormente sia inferiormente, come ad esempio alcune funzioni trigonometriche, questo passaggio è inutile
Dopo aver fatto derivata e limiti, dovresti avere tutte le informazioni per poter dire quali sono i valori che la funzione assume.
Ritengo che il percorso migliore da seguire sia di cercare prima il dominio e poi la derivata, in questo modo vedi il comportamento della funzione su tutto il suo dominio e ti accorgi subito se è limitata (cioè se ha massimi o minimi assoluti).
Una volta fatto ciò, decidi se è il caso di fare i limiti agli estremi del dominio: se la funzione è limitata sia superiormente sia inferiormente, come ad esempio alcune funzioni trigonometriche, questo passaggio è inutile
Dopo aver fatto derivata e limiti, dovresti avere tutte le informazioni per poter dire quali sono i valori che la funzione assume.
"clever":
non mi sarei dovuto trovare anche che per $x->-oo$ mi dovevo trovare $y->1$??
No... Trovi che per $x -> -oo$, $f(x) -> +oo$ (sarebbe stato contraddittorio trovare che per $x -> -oo$, $f(x) -> -oo$, visto il codominio che ci hai dato ).
Io controllerei la derivata prima. In che intervallo la funzione cresce e in che intervallo decresce.
Ah, buona guida Raptorista.
Tento allora, seguendo i tuoi consigli, questa funzione che è un pò particolare.
$f(x)=(x)/(1+e^(1/x))$
ricerca del dominio:
$1+e^(1/x)!=0$
$e^(1/x)!=-1$
$log(e)^(1/x)!=-log(e)$
$1/x!=-1$
$x!=-1$
$x!=0$
Quindi il dominio è tutto $RR$ tranne $-1$ e $0$
studio della derivata prima:
$y'=(-D(1+e^(1/x))*x)/(1+e^(1/x))^2$
$y'=(-(-1/x^2)*x*e^(1/x))/(1+e^(1/x))$
$(1/x)*e^(1/x)=0
$x!=0$
$e^(1/x)=0$ mai
La funzione non ha massimi e minimi, non è continua. (non so se posso dirlo)
Faccio i limiti.
Per $x->+oo$ $(x)/(1+e^(1/x)$ $->+oo$
Per $x->-oo$ $(x)/(1+e^(1/x)$ $->-oo$
Quindi il codominio coincide con il dominio?
Tento allora, seguendo i tuoi consigli, questa funzione che è un pò particolare.
$f(x)=(x)/(1+e^(1/x))$
ricerca del dominio:
$1+e^(1/x)!=0$
$e^(1/x)!=-1$
$log(e)^(1/x)!=-log(e)$
$1/x!=-1$
$x!=-1$
$x!=0$
Quindi il dominio è tutto $RR$ tranne $-1$ e $0$
studio della derivata prima:
$y'=(-D(1+e^(1/x))*x)/(1+e^(1/x))^2$
$y'=(-(-1/x^2)*x*e^(1/x))/(1+e^(1/x))$
$(1/x)*e^(1/x)=0
$x!=0$
$e^(1/x)=0$ mai
La funzione non ha massimi e minimi, non è continua. (non so se posso dirlo)
Faccio i limiti.
Per $x->+oo$ $(x)/(1+e^(1/x)$ $->+oo$
Per $x->-oo$ $(x)/(1+e^(1/x)$ $->-oo$
Quindi il codominio coincide con il dominio?
Vedo delle cose che non vanno molto bene...
Innanzitutto il dominio. $1+e^{1\x}=0$: la funzione esponenziale ha SEMPRE valore positivo, e sommata ad 1 è sempre e comunque un valore positivo; questa però non è l'unica condizione da porre: c'è un'altra frazione nella funzione il cui denominatore deve essere diverso da zero.
Anche la derivata non mi piace: non ho capito che formula tu abbia usato, ma devi usare la formula della derivata del quoziente.
La funzione è continua in tutto il suo dominio (non è esatto, ma ha una discontinuità eliminabile per $x=0$)
Innanzitutto il dominio. $1+e^{1\x}=0$: la funzione esponenziale ha SEMPRE valore positivo, e sommata ad 1 è sempre e comunque un valore positivo; questa però non è l'unica condizione da porre: c'è un'altra frazione nella funzione il cui denominatore deve essere diverso da zero.
Anche la derivata non mi piace: non ho capito che formula tu abbia usato, ma devi usare la formula della derivata del quoziente.
La funzione è continua in tutto il suo dominio (non è esatto, ma ha una discontinuità eliminabile per $x=0$)
Il dominio è tutto $RR$ meno il punto $0$
La derivata prima viene:
$y'=((1/x)*e^(1/x))/(1+e^(1/x))^2$
Il codominio è uguale al dominio.
La derivata prima viene:
$y'=((1/x)*e^(1/x))/(1+e^(1/x))^2$
Il codominio è uguale al dominio.
Il dominio è ok adesso, ma la derivata ancora non mi convince... Hai applicato la regola di derivazione del prodotto? Scrivimi i passaggi che fai, così capisco dove sbagli
Come forse si era capito avevo sbagliato a leggere (avevo letto [tex]$+x$[/tex] invece che [tex]$-x$[/tex])... Chiedo scusa a tutti.
P.S.: Forse ho spiazzato un po' Lorin in PM. Ben mi sta, la prossima volta imparo a leggere con più attenzione.
P.S.: Forse ho spiazzato un po' Lorin in PM. Ben mi sta, la prossima volta imparo a leggere con più attenzione.
Non ti preoccupare Gugo82, come mi dicesti una volta tu gli errori capitano a tutti
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