Codominio
Il codominio di una funzione coincide con la sua immagine? Oppure si intende il più grande insieme che contiene l'immagine?
Ad esempio, il codominio della celeberrima funzione "gradino unitario" è l'insieme ${0,1}$ o tutto $RR$?
Ad esempio, il codominio della celeberrima funzione "gradino unitario" è l'insieme ${0,1}$ o tutto $RR$?
Risposte
Codominio e immagine sono due termini differenti. Il codominio denota l'insieme di "arrivo" della funzione. Solitamente si dichiara una funzione esprimendo il suo dominio e il suo codominio nella seguente forma
$f:RR->RR$
Si chiama immagine di $f$ l'insieme dei valori del codominio che vengono effettivamente raggiunti dalla funzione. L'immagine è quindi un sottoinsieme del codominio. Quando codominio e immagine coincidono la funzione, come ben saprai, si dice suriettiva.
In generale se si restringeil codominio di una funzione alla sua immagine, ogni funzione diventa suriettiva; si potrebbero fare tanti esempi a tal proposito...
Non conosco comunque la funzione "gradino unitario"
$f:RR->RR$
Si chiama immagine di $f$ l'insieme dei valori del codominio che vengono effettivamente raggiunti dalla funzione. L'immagine è quindi un sottoinsieme del codominio. Quando codominio e immagine coincidono la funzione, come ben saprai, si dice suriettiva.
In generale se si restringeil codominio di una funzione alla sua immagine, ogni funzione diventa suriettiva; si potrebbero fare tanti esempi a tal proposito...
Non conosco comunque la funzione "gradino unitario"
ma sì che la conosci... magari la chiami diversamente: il gradino unitario $u(t)$ vale $0$ per $t<0$ e $1$ per $t>=0$
un'altra versione simile assume gli stessi valori per $t != 0$ e $1/2$ per $t=0$ (in modo che il segnale risulti regolarizzato in $0$) e sia somma della propria serie di fourier
in ogni caso tornando alla mia domanda, quando assegno una funzione (dunque ne assegno il dominio) devo anche assegnarne un codominio? oppure di default si prende l'immagine se il codominio non è assegnato? inoltre che senso ha includere nel codominio dei punti che non rientrano nell'immagine?
un'altra versione simile assume gli stessi valori per $t != 0$ e $1/2$ per $t=0$ (in modo che il segnale risulti regolarizzato in $0$) e sia somma della propria serie di fourier
in ogni caso tornando alla mia domanda, quando assegno una funzione (dunque ne assegno il dominio) devo anche assegnarne un codominio? oppure di default si prende l'immagine se il codominio non è assegnato? inoltre che senso ha includere nel codominio dei punti che non rientrano nell'immagine?
@Kroldar
"oppure di default si prende l'immagine se il codominio non è assegnato?"
no, non si prende di default il codominio.
"che senso ha includere nel codominio dei punti che non rientrano nell'immagine?"
Bourbaki si rivolterà nella tomba...
se tu vuoi sommare due funzioni, sarà carino e comodo "vederle" come aventi codominio $RR$, anziché una avente come codominio ${0,1}$ e l'altra $[-7 \pi, 33[$. Insomma, l'addizione si fa meglio dentro a un gruppo anziché in strutture traballanti
"oppure di default si prende l'immagine se il codominio non è assegnato?"
no, non si prende di default il codominio.
"che senso ha includere nel codominio dei punti che non rientrano nell'immagine?"
Bourbaki si rivolterà nella tomba...
se tu vuoi sommare due funzioni, sarà carino e comodo "vederle" come aventi codominio $RR$, anziché una avente come codominio ${0,1}$ e l'altra $[-7 \pi, 33[$. Insomma, l'addizione si fa meglio dentro a un gruppo anziché in strutture traballanti
"Kroldar":
ma sì che la conosci... magari la chiami diversamente: il gradino unitario $u(t)$ vale $0$ per $t<0$ e $1$ per $t>=0$
Non sapevo si chiamasse funzione "gradino".
hai ragione... ora però vengo al dunque, cioè a quello che avevo in mente quando ho posto la domanda...
considero la funzione gradino unitario ($0$ per $t<0$ e $1$ per $t>=0$), tale funzione è discontinua; voglio verificarlo tramite la definzione topologica di continuità, ovvero considerando un aperto del codominio e verificando che la sua controimmagine è un aperto... bene, come trovo la controimmagine di un aperto se alcuni elementi di tale aperto non appartengono all'immagine? ad esempio per il gradino unitario prendo un aperto contenente $1$ nel codominio, ad esempio $(-1/2,1/2)$... qual è la sua controimmagine dato che soltanto il punto $1$ è effettivamente immagine di qualche elemento del dominio?
considero la funzione gradino unitario ($0$ per $t<0$ e $1$ per $t>=0$), tale funzione è discontinua; voglio verificarlo tramite la definzione topologica di continuità, ovvero considerando un aperto del codominio e verificando che la sua controimmagine è un aperto... bene, come trovo la controimmagine di un aperto se alcuni elementi di tale aperto non appartengono all'immagine? ad esempio per il gradino unitario prendo un aperto contenente $1$ nel codominio, ad esempio $(-1/2,1/2)$... qual è la sua controimmagine dato che soltanto il punto $1$ è effettivamente immagine di qualche elemento del dominio?
"Kroldar":
hai ragione... ora però vengo al dunque, cioè a quello che avevo in mente quando ho posto la domanda...
considero la funzione gradino unitario ($0$ per $t<0$ e $1$ per $t>=0$), tale funzione è discontinua; voglio verificarlo tramite la definzione topologica di continuità, ovvero considerando un aperto del codominio e verificando che la sua controimmagine è un aperto... bene, come trovo la controimmagine di un aperto se alcuni elementi di tale aperto non appartengono all'immagine? ad esempio per il gradino unitario prendo un aperto contenente $1$ nel codominio, ad esempio $(-1/2,1/2)$... qual è la sua controimmagine dato che soltanto il punto $1$ è effettivamente immagine di qualche elemento del dominio?
permettimi una divagazione, poi vengo al dunque
la topologia è una astrazione importante, che si è affermata e consolidata e tuttora gode di ottima salute
per via della selezione naturale nel mondo delle idee, se non fosse così robusta da sopravvivere a problemi come quelli che poni, sarebbe già stata soppiantata da un'altra teoria migliore
veniamo al dunque
nel tuo esempio, la controimmagine di $(1/2,3/2)$ (che contiene $1$, cosa che non è vera per $(-1/2,1/2)$...)è naturalmente $[0, oo[$ (che non è un aperto e quindi si vede con gli ammennicoli "topologici" che la funzione di Heaviside non è continua)
come mai la controimmagine è quella? per definizione di controimmagine
Data $f:A->B$ e dato $Z \subseteq B$, $f^{-1}(Z) = { x \in A : f(x) \in Z }$. Tutto qui, niente di strano
"Fioravante Patrone":
permettimi una divagazione, poi vengo al dunque
la topologia è una astrazione importante, che si è affermata e consolidata e tuttora gode di ottima salute
per via della selezione naturale nel mondo delle idee, se non fosse così robusta da sopravvivere a problemi come quelli che poni, sarebbe già stata soppiantata da un'altra teoria migliore
vero... tra l'altro le domande che pongo non sono volte a minare le verità topologiche ma, in genere, sono figlie di una non rigorosa e a volte sommaria (eufemismo, avrei potuto dire anche "assente") conoscenza di argomenti propedeutici alla topologia di per sé che non ho mai affrontato in passato
"Fioravante Patrone":
nel tuo esempio, la controimmagine di $(1/2,3/2)$ (che contiene $1$, cosa che non è vera per $(-1/2,1/2)$...)
oooops vero... avevo considerato un intorno circolare di $0$ anziché di $1$, pardon...
"Fioravante Patrone":
come mai la controimmagine è quella? per definizione di controimmagine
Data $f:A->B$ e dato $Z \subseteq B$, $f^{-1}(Z) = { x \in A : f(x) \in Z }$. Tutto qui, niente di strano
ok perfetto... allora i valori che non hanno controimmagine nel dominio semplicemente si ignorano... sembra una banalità (e in effetti lo è) ma ignoravo la definizione esatta di controimmagine
una precisazione, che si riallaccia ad un vecchio post
Kroldar ha definito la funzione "gradino" (o di Heaviside) su tutto $RR$.
Definendo $f(x)=1$ in $0$.
Spesso, la funzione di Heaviside non viene definita in $0$ (che lo si faccia, magari definendola $1/2$ per far piacere alle serie di Fourier, oppure no dipende dal contesto, da cosa se ne vuol fare).
Il che significa, naturalmente, che in termini formali il nome di "funzione di Heaviside" viene riservato ad oggetti che sono in realtà funzioni diverse...
Comunque, tornando al caso in cui la funzione non sia definita in $0$, in tal caso abbiamo una funzione continua. Contrariamente alla "funzione di Heaviside" "à la Kroldar" che non è continua (ovvero, non è continua in $0$).
Kroldar ha definito la funzione "gradino" (o di Heaviside) su tutto $RR$.
Definendo $f(x)=1$ in $0$.
Spesso, la funzione di Heaviside non viene definita in $0$ (che lo si faccia, magari definendola $1/2$ per far piacere alle serie di Fourier, oppure no dipende dal contesto, da cosa se ne vuol fare).
Il che significa, naturalmente, che in termini formali il nome di "funzione di Heaviside" viene riservato ad oggetti che sono in realtà funzioni diverse...
Comunque, tornando al caso in cui la funzione non sia definita in $0$, in tal caso abbiamo una funzione continua. Contrariamente alla "funzione di Heaviside" "à la Kroldar" che non è continua (ovvero, non è continua in $0$).
$f: (X,tau)to(Y,$indiscreta$)$ è continua per ogni $f$... cerchiamo di verificarlo: gli unici due aperti della topologia di $Y$ sono $Y$ stesso e l'insieme vuoto; verifichiamo che le loro controimmagini sono degli aperti per $tau$...
La controimmagine del codominio è tutto il dominio, credo sia ovvio questo... e la controimmagine dell'insieme vuoto? Direi l'insieme vuoto, ma perché?
La controimmagine del codominio è tutto il dominio, credo sia ovvio questo... e la controimmagine dell'insieme vuoto? Direi l'insieme vuoto, ma perché?
per definizione
dicevo che, data $f:A->B$ e dato $Z \subseteq B$, $f^{-1}(Z) = { x \in A : f(x) \in Z }$
ora, se $Z$ è vuoto, non possono esserci elementi $x \in A$ t.c. $f(x) \in Z$, proprio perché $Z$ è vuoto...
dicevo che, data $f:A->B$ e dato $Z \subseteq B$, $f^{-1}(Z) = { x \in A : f(x) \in Z }$
ora, se $Z$ è vuoto, non possono esserci elementi $x \in A$ t.c. $f(x) \in Z$, proprio perché $Z$ è vuoto...
credo di aver commesso un'imprecisione... quando ho detto che la funzione gradino unitario è discontinua non ho specificato il dominio né il codominio ma ho sottointeso che fosse $u:(RR,epsilon)to(RR,epsilon)$ dove con $epsilon$ denoto la topologia euclidea (a proposito, convenzionalmente che simbolo si usa per indicare la topologia euclidea? va bene $epsilon$?) in ogni caso se avessi scritto $u:(RR,epsilon)to(RR,$indiscreta$)$ allora la funzione non sarebbe risultata più discontinua vero? ugualmente se avessi scritto $u:(RR,$discreta$)to(RR,epsilon)$... dunque la continuità di una funzione è una proprietà che risiede nella topologia del dominio e del codominio e non nella funzione di per sé? quindi dominio e codominio (come Luca a dire il vero ha sempre tenuto a sottolineare) sono parte integrante di una funzione?
se è tutto vero è una cosa davvero notevole... straordinaria...
se è tutto vero è una cosa davvero notevole... straordinaria...
"Kroldar":
credo di aver commesso un'imprecisione... quando ho detto che la funzione gradino unitario è discontinua non ho specificato il dominio né il codominio ma ho sottointeso che fosse $u:(RR,epsilon)to(RR,epsilon)$ dove con $epsilon$ denoto la topologia euclidea
E' pur vero che il tuo post cominciava chiedendosi se il "codominio" della funzione gradino fosse $RR$ od altro.
Ma era stato abbastanza presto "deliberato" che il sodominio fosse $RR$.
A questo punto, visto che la "tua" funzione a gradino era definita per ogni $x \in RR$, era ovvio dal contesto che andava da $RR$ in $RR$. Mica era definita su $CC$... e neanche su $ZZ$.
Quanto alla topologia, se uno su $RR$ usa una topologia diversa da quella euclidea è pregato di avvisare!
Insomma, era scontato che tu stessi considerando $RR$ come dominio e codominio, e che per entrambi tu stessi considerando la topologia euclidea.
"Kroldar":
(a proposito, convenzionalmente che simbolo si usa per indicare la topologia euclidea? va bene $epsilon$?)
a me non risulta l'uso di un simbolo particolare (anche perché la si sottintende sempre
)può darsi in topologia, ma non so
"Kroldar":
in ogni caso se avessi scritto $u:(RR,epsilon)to(RR,$indiscreta$)$ allora la funzione non sarebbe risultata più discontinua vero? ugualmente se avessi scritto $u:(RR,$discreta$)to(RR,epsilon)$... dunque la continuità di una funzione è una proprietà che risiede nella topologia del dominio e del codominio e non nella funzione di per sé? quindi dominio e codominio (come Luca a dire il vero ha sempre tenuto a sottolineare) sono parte integrante di una funzione?
beh, che la continuità dipenda dal dominio/codominio mi sembra naturale, e che dipenda dalla topologia mi fa venire da dire: "se così non fosse, cosa ce ne facciamo della topologia?"
"Kroldar":
se è tutto vero è una cosa davvero notevole... straordinaria...
nulla di straordinario! Vale quanto detto nel post n.8, quando parlavo di divagazione. Se non fosse così, questi concetti sarebbero stati spazzati via perché poco "utili" (con buona pace di Mr. Godfrey Harold Hardy).
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