Classificazioni singolarità al finito funzione complessa
Salve, ho provato a classificare le singolarità al finito della seguente funzione $ f(z)= z^2/(1-cos(z)) $ , ma studiando il campo di esistenza ho trovato solo una singolarità eliminabile per $ z=0 $, il mio dubbio è se bisogna considerare la periodicità o no.
grazie dell' aiuto
grazie dell' aiuto
Risposte
Dipende da com'è posto l'esercizio, mi sembra. $1 - \cos(z)$ chiaramente ha infiniti zeri (perché per $z = x \in RR$ ha infiniti zeri).
Credo sia possibile sviluppare in serie di Laurent la funzione in z=0
$f(z)=\frac{z^2}{1-cos z}=\frac{z^2}{1-(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-...)}=$
$=z^2 [(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-...)+(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-...)^2+(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-...)^3+..]$
la parte singolare non c'è, quindi z=0 è una singolarità eliminabile
All'infinito invece credo che sia una singolarità essenziale. Si può vedere facendo la sostituzione $z=\frac{1}{w}$
$f(z)=\frac{z^2}{1-cos z}=\frac{z^2}{1-(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-...)}=$
$=z^2 [(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-...)+(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-...)^2+(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-...)^3+..]$
la parte singolare non c'è, quindi z=0 è una singolarità eliminabile
All'infinito invece credo che sia una singolarità essenziale. Si può vedere facendo la sostituzione $z=\frac{1}{w}$
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