Classificazione singolarità e integrale su circuito semplice di f.

[lo92muse]

$$f(z)=\frac{e^{z}-1}{z\cos{z}}$$

Trovare e classificare le singolarità. Calcolare $\oint_{C_{3}(0)}f(z)dz$

La mia soluzione la trovate sotto come spoiler. Mi aiutate a capire se l'esercizio è svolto in maniera corretta? Grazie ..

$$f(z)=\frac{e^{z}-1}{z\cos{z}}$$

Trovare e classificare le singolarità.

$z_{0}=0$ è una singolarità eliminabile.

Infatti annulla anche il numeratore e

$$\frac{d}{dz}e^{z}-1|_{z_{0}=0}=e^{z}|_{z_{0}=0}=1=n$$

$$\frac{d}{dz}z\cos{z}|_{z_{0}=0}=\cos{z}-z\sin{z}|_{z_{0}=0}=1-0=1=m$$

L'ordine del polo è dato da $m-n=1-1=0$.

Ora studio $\cosz=0$. Essa si annulla per $z=\frac{\pi}{2}+k\pi$. Non annullando anche il numeratore esso è sicuramente un insieme di poli semplici, per tutti i k interi.

Ricapitolando, i risultati ottenuti sono:

$z_{0}=0$ singolarità eliminabile

$z_{n}=\frac{\pi}{2}+k\pi$ poli semplici, con k numero intero.

Ora bisogna calcolare l'integrale sul circuito chiuso definito dalla circonferenza di centro 0 e raggio 3. Si procede con il metodo dei residui, controllando quali sono le singolarità che cadono all'interno del circuito.

Per $z_{0}=0$ non occorre calcolare il residuo: essendo una singolarità eliminabile sarà sicuramente nullo.

Ora bisogna controllare per quali valori del parametro $z=\frac{\pi}{2}+k\pi$ è minore di 3. Questo vale per $k=0$ e $k=-1$.

L'integrale sarà quindi uguale a $2\pi i[Res(f;\frac{\pi}{2})+Res(f;-\frac{\pi}{2})]$

$Res(f;\frac{\pi}{2})=\frac{e^{z}-1}{\frac{d}{dz}z\cosz}|_{z=\frac{\pi}{2}}=$
$\frac{e^{z}-1}{\cosz-z\sinz}|_{z=\frac{\pi}{2}}$
$=\frac{e^{-\frac{\pi}{2}}-1}{0-\frac{\pi}{2}}$
Analogo discorso per la singolarità di segno opposto, con il segno invertito opportunamente.

Il risultato dell'integrale è quindi: $-4i(e^{\frac{\pi}{2}}-e^{-\frac{\pi}{2}})$
Grazie per la lettura ..

[Rigel1]

Per \(z_0=0\), quando scrivi \(... = 1 = n\) e \(... = 1 = m\), per quanto formalmente corretto, mi sembra quantomeno fuorviante.
Infatti, il fatto che la prima derivata sia \(\neq 0\) ti dice che \(n=1\) e analogamente per la seconda.
Per capirci, se la prima derivata fosse stata \(=3\) non avresti dedotto \(n=3\), ma sempre \(n=1\).
Per il resto, se i calcoli algebrici sono corretti (cosa che non ho verificato) mi sembra a posto.

[lo92muse]

"Rigel":Per \(z_0=0\), quando scrivi \(... = 1 = n\) e \(... = 1 = m\), per quanto formalmente corretto, mi sembra quantomeno fuorviante.
Infatti, il fatto che la prima derivata sia \(\neq 0\) ti dice che \(n=1\) e analogamente per la seconda.
Per capirci, se la prima derivata fosse stata \(=3\) non avresti dedotto \(n=3\), ma sempre \(n=1\).
Per il resto, se i calcoli algebrici sono corretti (cosa che non ho verificato) mi sembra a posto.

Hai ragione, ho omesso un diverso da zero dopo il risultato 1. Mi sembrava un pò strano il risultato dell'integrale, però i passaggi dovrebbero essere giusti. Grazie ..