Classificazione Singolarità

[soni5]

Ciao, devo classificare le singolarità di questa funzione: [tex]$\frac{1}{z^2}\frac{1}{sin(\frac{1}{z})}$[/tex].
Trovo che le singolarità sono: [tex]$z=0$[/tex] e [tex]$z=\frac{1}{k\pi}$[/tex] con k intero, a questo punto sto avendo difficoltà a classificarle, cioè [tex]$z=\frac{1}{k\pi}$[/tex] sono poli di primo ordine perchè zeri del denominatore, ma se volessi dimostrarlo dovrei fare questo limite e verificare che fa un numero? [tex]$\lim_{z \rightarrow \frac{1}{k\pi}} \frac{1}{z^2}\frac{1}{sin(\frac{1}{z})}sin(\frac{1}{z})$[/tex]. E poi che singolarità è [tex]$z=0$[/tex]? Sarei portato a dire poli perchè il lim è infinito: [tex]$\lim_{z \rightarrow 0} \frac{1}{z^2}\frac{1}{sin(\frac{1}{z})} = \infty$[/tex] ma non ne sono tanto sicuro...

[gugo82]

Gli \(z_k=\frac{1}{k\pi}\) sono effettivamente poli del primo ordine: infatti si ha \(\lim_{z\to z_k} f(z)=\infty\) mentre è:
\[ \begin{split} \lim_{z\to z_k} f(z)\ (z-z_k) &= \lim_{z\to \frac{1}{k\pi}} \frac{z-\frac{1}{k\pi}}{z^2 \sin \frac{1}{z}} \\ &\stackrel{\zeta =\frac{1}{z}}{=} \lim_{\zeta \to k\pi} \frac{\zeta}{k\pi}\ \frac{k\pi -\zeta}{\sin \zeta} \\ &\stackrel{w=k\pi -\zeta}{=} \lim_{w\to 0} \frac{k\pi -w}{k\pi}\ \frac{w}{\sin (k\pi -w)} \\ &=\lim_{w\to 0} \frac{k\pi -w}{k\pi}\ \frac{w}{(-1)^{k+1} \sin w} \\ &= 1\cdot \frac{1}{(-1)^{k+1}} \\ &=(-1)^{k+1}\end{split} \]
per il limite fondamentale e la formula di sottrazione del seno.

Lo \(0\) non è una singolarità classificabile, perchè non è isolata (infatti i poli \(\frac{1}{k\pi}\) si accumulano intorno a \(0\)).

[soni5]

Grazie gugo sei stato chiarissimo.