Classificazione PDE in 3 variabili
Non ho trovato da nessuna parte, mi pare che tutti per classificare usano il caso di due variabili...
[tex]u_t + b_x u_{xt} + b_y u_{yt} + c_x u_{xx}+ c_y u_{yy}=0[/tex]
intuitivamente direi che è iperbolica perché [tex]a=0[/tex] il coefficiente di [tex]u_tt[/tex] e la condizione con 2 variabili (es. [tex]x,t[/tex])sarebbe sul segno di [tex]b_x^2-ac_x[/tex]
ma formalmente come diventa la condizione nel caso che [tex]b_x\ne b_y[/tex] e [tex]c_x\ne c_y[/tex]?
[tex]u_t + b_x u_{xt} + b_y u_{yt} + c_x u_{xx}+ c_y u_{yy}=0[/tex]
intuitivamente direi che è iperbolica perché [tex]a=0[/tex] il coefficiente di [tex]u_tt[/tex] e la condizione con 2 variabili (es. [tex]x,t[/tex])sarebbe sul segno di [tex]b_x^2-ac_x[/tex]
ma formalmente come diventa la condizione nel caso che [tex]b_x\ne b_y[/tex] e [tex]c_x\ne c_y[/tex]?
Risposte
Si tratta sempre di determinare la segnatura della matrice dell'operatore sulle derivate seconde... In due o millemila variabili la storia non cambia.
ok questa definizione mi piace già di più
quindi faccio:
[tex]\begin{pmatrix} \partial_t & \partial_x & \partial_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b_x & b_y \\ b_x & c_x & 0 \\ b_y & 0 & c_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \partial_t \\ \partial_x \\ \partial_y\end{pmatrix}= a \partial_{tt} + 2b_x \partial_{xt}+2b_y \partial_{yt}+ c_x \partial_{xx}+ c_y \partial_{yy}[/tex] ho trovato un operatore che definisce la parte con le derivate seconde e vado a vedere il segno del determinante.
Nel mio caso ([tex]a=0[/tex]) quindi controllo il segno di
[tex]-(b_x^2 c_y + b_y^2 c_x)[/tex] perciò non è detto che sia iperbolica dipende dai [tex]c[/tex], giusto?
quindi faccio:
[tex]\begin{pmatrix} \partial_t & \partial_x & \partial_y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b_x & b_y \\ b_x & c_x & 0 \\ b_y & 0 & c_y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \partial_t \\ \partial_x \\ \partial_y\end{pmatrix}= a \partial_{tt} + 2b_x \partial_{xt}+2b_y \partial_{yt}+ c_x \partial_{xx}+ c_y \partial_{yy}[/tex] ho trovato un operatore che definisce la parte con le derivate seconde e vado a vedere il segno del determinante.
Nel mio caso ([tex]a=0[/tex]) quindi controllo il segno di
[tex]-(b_x^2 c_y + b_y^2 c_x)[/tex] perciò non è detto che sia iperbolica dipende dai [tex]c[/tex], giusto?
Il problema è determinare la segnatura della matrice simmetrica che hai sotto mano.
Visto che la matrice è simmetrica, gli autovalori sono reali; pertanto basta determinare il polinomio caratteristico ed applicare la regola di Cartesio (quella delle permanenze e delle variazioni dei segni dei coefficienti).
Ovviamente, se gli elementi della matrice sono funzioni non costanti delle variabili [tex]$(t,x,y)$[/tex], allora ci potranno essere zone di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] in cui il tuo operatore è ellittico, zone in cui è parabolico e zone in cui è iperbolico.
Visto che la matrice è simmetrica, gli autovalori sono reali; pertanto basta determinare il polinomio caratteristico ed applicare la regola di Cartesio (quella delle permanenze e delle variazioni dei segni dei coefficienti).
Ovviamente, se gli elementi della matrice sono funzioni non costanti delle variabili [tex]$(t,x,y)$[/tex], allora ci potranno essere zone di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] in cui il tuo operatore è ellittico, zone in cui è parabolico e zone in cui è iperbolico.
Se cerchi informazioni teoriche su questo lo puoi trovare sulle dispense di Acquistapace:
http://www.dm.unipi.it/~acquistp/mate.html
vai su "Introduzione alla teoria delle equazioni alle derivate parziali", pagg.44-47.
http://www.dm.unipi.it/~acquistp/mate.html
vai su "Introduzione alla teoria delle equazioni alle derivate parziali", pagg.44-47.
Ok, grazie dissonance per i link sempre utili,
quindi in realtà devo andare a vedere gli autovalori e guardare quanti sono discordi, concordi o nulli...
non basta guardare il determinante.
Scusa gugo, mi sono accorto che "segnatura" non è ciò che pensavo io, quindi non ti avevo capito, adesso è ok.
Solo un ultima cosa: dalle dispense postate da dissonance si vede che in n dimensioni ci sono molte possibili classi, ma realmente sono tutte necessarie? Cioè mi chiedo si dividono così perché ad ogni possibile classe corrisponde un comportamento realmente differente?
quindi in realtà devo andare a vedere gli autovalori e guardare quanti sono discordi, concordi o nulli...
non basta guardare il determinante.
Scusa gugo, mi sono accorto che "segnatura" non è ciò che pensavo io, quindi non ti avevo capito, adesso è ok.
Solo un ultima cosa: dalle dispense postate da dissonance si vede che in n dimensioni ci sono molte possibili classi, ma realmente sono tutte necessarie? Cioè mi chiedo si dividono così perché ad ogni possibile classe corrisponde un comportamento realmente differente?
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