Classificazione di un dominio
Salve,devo disegnare il dominio di tale funzione nel piano xy e dire se è convesso,limitato (bounded significa limitato?) aperto o chiuso.
f(x,y) = sqrt(y-x^2)-x^2 -y
il dominio è la parte interna alla parabola y=x^2 , è :
convesso perchè posso unire con un segmento due punti qualsiasi di tale dominio
illimitato perchè i punti del dominio sono le coppie x e y tali che y è maggiore o uguale a x^2
ora il mio dubbio è nel chiuso o aperto, potreste aiutarmi?
chiedo scusa per non aver scritto le formule nel formato adatto ma non sono a casa e non ho un pc a disposizione. Grazie a tutti per la vostra disponibilità
f(x,y) = sqrt(y-x^2)-x^2 -y
il dominio è la parte interna alla parabola y=x^2 , è :
convesso perchè posso unire con un segmento due punti qualsiasi di tale dominio
illimitato perchè i punti del dominio sono le coppie x e y tali che y è maggiore o uguale a x^2
ora il mio dubbio è nel chiuso o aperto, potreste aiutarmi?
chiedo scusa per non aver scritto le formule nel formato adatto ma non sono a casa e non ho un pc a disposizione. Grazie a tutti per la vostra disponibilità
Risposte
Sì "bounded" significa limitato.
Giusto
Giusto
E' chiuso. Non so quanto tu ne sappia di topologia, però basta dire che la funzione $g(x,y)=y-x^2$ è continua e dunque il dominio di $f$ è chiuso dato che è la controimmagine di $[0,+\infty]$ (che è un sottoinsieme chiuso di $\mathbb{R}$) mediante $g$. In altre parole
\[
\mathcal{D}_f=g^{-1}([0,+\infty]).
\]
"judoca92":
convesso perchè posso unire con un segmento due punti qualsiasi di tale dominio
Giusto
"judoca92":
illimitato perchè i punti del dominio sono le coppie x e y tali che y è maggiore o uguale a x^2
Giusto
"judoca92":
ora il mio dubbio è nel chiuso o aperto
E' chiuso. Non so quanto tu ne sappia di topologia, però basta dire che la funzione $g(x,y)=y-x^2$ è continua e dunque il dominio di $f$ è chiuso dato che è la controimmagine di $[0,+\infty]$ (che è un sottoinsieme chiuso di $\mathbb{R}$) mediante $g$. In altre parole
\[
\mathcal{D}_f=g^{-1}([0,+\infty]).
\]
non mi è chiaro la spiegazione del perchè sia chiuso XD
Ok, questo significa che non posso usare le nozioni di topologia che davo per scontato. Qual è la definizione che tu sai di insieme chiuso?
un insieme è chiuso se il suo complementare è aperto, ho pensato che, poichè il dominio contiene la frontiera, quindi se ne faccio il complementare ottengo la parte esterna alla parabola, tranne i punti della parabola,gousto? ma non sono sicuro se tale insieme sia aperto
Sì tale insieme è aperto. Il punto è se devi dimostrarlo o no.
si 
Ti è noto che un insieme è chiuso (nel senso che il suo complementare è aperto) se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione? Se sì allora basta mostrare che ogni punto di accumulazione dell'insieme $\mathcal{D}_f=\{y\geq x^2\}$ appartiene a $\mathcal{D}_f$. Definiamo la funzione $g(x,y)=y-x^2$, e consideriamo un punto di accumulazione di $\mathcal{D}_f$ che chiamiamo $(x_0,y_0)$. Il nostro intento è dimostrare che $y_0\geq x_0^2$, o equivalentemente che $g(x_0,y_0)=y_0-x_0^2\geq 0$.
Dato che $(x_0,y_0)$ è di accumulazione per $\mathcal{D}_f$, esiste una successione $\{(x_n,y_n)\}_n$ in $\mathcal{D}_f$ che converge a $(x_0,y_0)$. Nota che $g(x_n,y_n)\geq 0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$. Per il teorema di permanenza del segno, si ha che $\lim_{n\to+\infty}g(x_n,y_n)\geq 0$, ammesso che il limite esista. E in effetti il limite esiste ed è $g(x_0,y_0)$, infatti essendo $g$ continua si ha che
\[
\lim_{n\to+\infty}g(x_n,y_n)=g\Big(\lim_{n\to+\infty}(x_n,y_n)\Big)=g(x_0,y_0).
\]
Se non ti dovesse essere noto che un insieme $A$ che contiene tutti i suoi punti di accumulazione è chiuso, lo si può dimostrare facilmente: dato un punto $x$ in $A^c$, deve esistere un intorno circolare centrato in $x$ interamente contenuto in $A^c$, e di conseguenza $x$ (che era arbitrario) è interno, cioè $A^c$ è aperto. Tale intorno deve esistere perché se non esistesse allora avremmo che ogni intorno circolare centrato in $x$ contiene punti di $A$, ma questo significherebbe che $x$ sarebbe un punto di accumulazione di $A$ e dunque apparterrebbe ad $A$ (che contiene tutti i suoi punti di accumulazione). Ma questo è assurdo dato che $x\in A^c$.
Dato che $(x_0,y_0)$ è di accumulazione per $\mathcal{D}_f$, esiste una successione $\{(x_n,y_n)\}_n$ in $\mathcal{D}_f$ che converge a $(x_0,y_0)$. Nota che $g(x_n,y_n)\geq 0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$. Per il teorema di permanenza del segno, si ha che $\lim_{n\to+\infty}g(x_n,y_n)\geq 0$, ammesso che il limite esista. E in effetti il limite esiste ed è $g(x_0,y_0)$, infatti essendo $g$ continua si ha che
\[
\lim_{n\to+\infty}g(x_n,y_n)=g\Big(\lim_{n\to+\infty}(x_n,y_n)\Big)=g(x_0,y_0).
\]
Se non ti dovesse essere noto che un insieme $A$ che contiene tutti i suoi punti di accumulazione è chiuso, lo si può dimostrare facilmente: dato un punto $x$ in $A^c$, deve esistere un intorno circolare centrato in $x$ interamente contenuto in $A^c$, e di conseguenza $x$ (che era arbitrario) è interno, cioè $A^c$ è aperto. Tale intorno deve esistere perché se non esistesse allora avremmo che ogni intorno circolare centrato in $x$ contiene punti di $A$, ma questo significherebbe che $x$ sarebbe un punto di accumulazione di $A$ e dunque apparterrebbe ad $A$ (che contiene tutti i suoi punti di accumulazione). Ma questo è assurdo dato che $x\in A^c$.
grazie mille, sei stato utilissimo.
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