Classificazione delle singolarità di una funzione complessa
Ciao a tutti oggi all'esame di metodi matematici mi sono trovato questa funzione:
$f(z) = z/(e^(3z) -e^(2z) -e^z +1)$.
Devo trovare le singolarità di questa funzione.
Non sono riuscito a risolvere l'esercizio.
Di sicuro $z=0$ è una singolarità. Inizialmente in questo punto ho una forma indeterminata $0/0$ ma usando De L'Hopital trovo che effettivamente per $z=0$ si ha una singolarità. Si tratta di capire di che singolarità si tratta.
Ho pensato di usare gli sviluppi in serie di mc laurin...
quindi :
$f(z) = z/( (1+3z +9/2 z^2+...) -(1+2z+2z^2+...) -(1+z+1/2z^2+...)-1)$
si vede che rimangono nella somma a denominatore i termini di secondo grado (non si annullano),infatti:$9/2 -2 -1/2 = 2$ e ,considerando la $z$ a numeratore vediamo che la nostra funzione ha uno sviluppo in serie che parte da $a_-1$.
Di conseguenza si tratta di un polo semplice. (naturalmente correggetemi se ho sbagliato).
Il punto è capire quali sono le altre singolarità e di che tipo....qui mi sono perso ...mi dareste una mano???
$f(z) = z/(e^(3z) -e^(2z) -e^z +1)$.
Devo trovare le singolarità di questa funzione.
Non sono riuscito a risolvere l'esercizio.
Di sicuro $z=0$ è una singolarità. Inizialmente in questo punto ho una forma indeterminata $0/0$ ma usando De L'Hopital trovo che effettivamente per $z=0$ si ha una singolarità. Si tratta di capire di che singolarità si tratta.
Ho pensato di usare gli sviluppi in serie di mc laurin...
quindi :
$f(z) = z/( (1+3z +9/2 z^2+...) -(1+2z+2z^2+...) -(1+z+1/2z^2+...)-1)$
si vede che rimangono nella somma a denominatore i termini di secondo grado (non si annullano),infatti:$9/2 -2 -1/2 = 2$ e ,considerando la $z$ a numeratore vediamo che la nostra funzione ha uno sviluppo in serie che parte da $a_-1$.
Di conseguenza si tratta di un polo semplice. (naturalmente correggetemi se ho sbagliato).
Il punto è capire quali sono le altre singolarità e di che tipo....qui mi sono perso ...mi dareste una mano???
Risposte
Potresti porre $e^z = t$ e risolvere $t^3 - t^2 - t + 1 = 0$ con il metodo di Ruffini, sapendo che $t = 1$ è una radice dell'equazione.
Grazie per l'attenzione seneca.
si anche io ho fatto cosi ottenendo la seguente fattorizzazione del denominatore:$f(z) = (e^(2z) -1)(e^z -1)$
il primo fattore si annulla per $z= ik \pi$
mentre il secondo per $z= i2k \pi$
sono andato un po nel pallone perchè anzitutto come faccio a stabilire in questo caso di che tipo di singolarità si tratta?Ad esempio ...ammettiamo di voler calcolare l'ordine dei poli : $z= i2k \pi$,
dovrei usare fare il limite $\lim_{z\to \i2k\pi} (z -i2k\pi)^n z/((e^(2z) -1)(e^z -1))$..ammetto di non essere in grado di risolverlo.
In secondo luogo noto che quando $k$ è pari allora si annullano entrambi i fattori..e quindi come faccio a capire il tipo di singolarità?
si anche io ho fatto cosi ottenendo la seguente fattorizzazione del denominatore:$f(z) = (e^(2z) -1)(e^z -1)$
il primo fattore si annulla per $z= ik \pi$
mentre il secondo per $z= i2k \pi$
sono andato un po nel pallone perchè anzitutto come faccio a stabilire in questo caso di che tipo di singolarità si tratta?Ad esempio ...ammettiamo di voler calcolare l'ordine dei poli : $z= i2k \pi$,
dovrei usare fare il limite $\lim_{z\to \i2k\pi} (z -i2k\pi)^n z/((e^(2z) -1)(e^z -1))$..ammetto di non essere in grado di risolverlo.
In secondo luogo noto che quando $k$ è pari allora si annullano entrambi i fattori..e quindi come faccio a capire il tipo di singolarità?
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