Classificazione della singolarità
allora io mi trovo di fronte a questo problema.. devo classificare la singolarità. il problema essenziale che riscontro che se applico la definizione spesso nn riesco a classificare il punto.. allora io so che
1) [tex]z_0[/tex] punto singolare, [tex]z_0[/tex] singolarità eliminabile se:
[tex]\exists \lim_{n \to \infty} f(z)=\lambda \in complessi[/tex] allora si può costruire la funzione: [tex]f(z)=\begin{cases} f(z), & \mbox{se }\mbox{ z!=z_0 } \\ \lambda, & \mbox{se }\mbox{ z=z_0}
\end{cases}[/tex]
2) [tex]z_0[/tex]è polo di ordine n se:
[tex] \exists \lim_{n \to \infty} f(z)(z-z_{0})^n = \lambda !=0 [/tex ]
la mia domanda è devo applicare le definizioni per sapere che tipo di singolarità ho??? altrimenti che devo fare se le definizioni nn vanno bene? grazie in anticipo
1) [tex]z_0[/tex] punto singolare, [tex]z_0[/tex] singolarità eliminabile se:
[tex]\exists \lim_{n \to \infty} f(z)=\lambda \in complessi[/tex] allora si può costruire la funzione: [tex]f(z)=\begin{cases} f(z), & \mbox{se }\mbox{ z!=z_0 } \\ \lambda, & \mbox{se }\mbox{ z=z_0}
\end{cases}[/tex]
2) [tex]z_0[/tex]è polo di ordine n se:
[tex] \exists \lim_{n \to \infty} f(z)(z-z_{0})^n = \lambda !=0 [/tex ]
la mia domanda è devo applicare le definizioni per sapere che tipo di singolarità ho??? altrimenti che devo fare se le definizioni nn vanno bene? grazie in anticipo
Risposte
ci provo un ultima volta con questa richiesta
Nella maggior parte dei casi l'applicazione delle definizioni è più che sufficiente. Hai trovato esempi "ostici"?
eh si ad esempio:
[tex]f(z)= \frac{1}{e^{-z} -i \frac{\pi}{2}}[/tex]
ad esempio questo ma su questo riflettendoci sopra potrei vedere che dovrebbe essere singolarita eliminabile:
applico al definizione: quindi calcolando il limite [tex]\lambda= 0[/tex], cioè mi spiego meglio :
[tex]f(z)= \frac{1}{\frac{1}{e^z}-i \frac{\pi}{2}}[/tex] faccio il limite che tende a [tex]z_0 =0[/tex] e mi trovo
[tex]f(z)= \frac{1}{\infty} =0[/tex]
giusto o ho interpretato la definizione nel modo sbagliato??
[tex]f(z)= \frac{1}{e^{-z} -i \frac{\pi}{2}}[/tex]
ad esempio questo ma su questo riflettendoci sopra potrei vedere che dovrebbe essere singolarita eliminabile:
applico al definizione: quindi calcolando il limite [tex]\lambda= 0[/tex], cioè mi spiego meglio :
[tex]f(z)= \frac{1}{\frac{1}{e^z}-i \frac{\pi}{2}}[/tex] faccio il limite che tende a [tex]z_0 =0[/tex] e mi trovo
[tex]f(z)= \frac{1}{\infty} =0[/tex]
giusto o ho interpretato la definizione nel modo sbagliato??
Beh, questa non è una funzione cattiva...
La \(f\) è un rapporto con numeratore costante, dunque tutte le singolarità provengono dagli zeri isolati del denominatore e dalle eventuali singolarità essenziali isolate del denominatore.
Il denominatore \(g(z):= e^{-z} - \imath \pi /2\) si annulla in tutti i punti \(z\) che sono soluzione dell'equazione:
\[
e^z = -\frac{2}{\pi}\ \imath
\]
cioè in \(z_n= \log (2/\pi) + \imath\ (- \pi/2 +2n\pi)\) con \(n\in \mathbb{Z}\); tali zeri sono tutti del primo ordine, perché:
\[
g^\prime (z_n)=-e^{-z_n} \neq 0\; ;
\]
perciò i punti \(z_n\) sono tutti poli del primo ordine per \(f\).
D'altra parte \(g\) è una funzione intera, quindi ha una singolarità essenziale isolata in \(\infty\); ma, dato che i poli \(z_n\) di \(f\) si accumulano a \(\infty\), il punto all'infinito è una singolarità non isolata e, dunque, non classificabile per \(f\).
La \(f\) è un rapporto con numeratore costante, dunque tutte le singolarità provengono dagli zeri isolati del denominatore e dalle eventuali singolarità essenziali isolate del denominatore.
Il denominatore \(g(z):= e^{-z} - \imath \pi /2\) si annulla in tutti i punti \(z\) che sono soluzione dell'equazione:
\[
e^z = -\frac{2}{\pi}\ \imath
\]
cioè in \(z_n= \log (2/\pi) + \imath\ (- \pi/2 +2n\pi)\) con \(n\in \mathbb{Z}\); tali zeri sono tutti del primo ordine, perché:
\[
g^\prime (z_n)=-e^{-z_n} \neq 0\; ;
\]
perciò i punti \(z_n\) sono tutti poli del primo ordine per \(f\).
D'altra parte \(g\) è una funzione intera, quindi ha una singolarità essenziale isolata in \(\infty\); ma, dato che i poli \(z_n\) di \(f\) si accumulano a \(\infty\), il punto all'infinito è una singolarità non isolata e, dunque, non classificabile per \(f\).
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