Classificare singolarità z0 con limite di z->z0
Salve,
Ho un'esercizio che chiede di determinare il tipo di singolarità in 0 della funzione $f(z)=x^4 cos(1/z)$
Ho proceduto ricavando lo sviluppo di Laurent nell'intorno di 0 e ho ottenuto:
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}(z)^(-2n+4)$
si vede chiaramente che la serie ha infiniti termini negativi quindi ho una discontinuità essenziale.
In alcune slide trovate sul web ho trovato che se calcolo il $l=\lim_(z->z0)(f(z))$ posso capire il tipo di singolarità:
se l appartiene ad $R$ ho una singolarità fittizia
se $l=+\infty$ ho un polo
se NON Esiste il limite, ho unadiscontinuità essenziale.
Il problema è che:
$\lim_(z->0)(x^4 cos(1/z))=0$
quindi dovrebbe essere una singolarità fittizia.
Cosa sbaglio?
La formula è giusta?
Grazie
EDIT(13/02/17):Formule corrette
$f(z)=z^4 cos(1/z)$
$\lim_(z->0)(z^4 cos(1/z))=0$
Ho un'esercizio che chiede di determinare il tipo di singolarità in 0 della funzione $f(z)=x^4 cos(1/z)$
Ho proceduto ricavando lo sviluppo di Laurent nell'intorno di 0 e ho ottenuto:
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}(z)^(-2n+4)$
si vede chiaramente che la serie ha infiniti termini negativi quindi ho una discontinuità essenziale.
In alcune slide trovate sul web ho trovato che se calcolo il $l=\lim_(z->z0)(f(z))$ posso capire il tipo di singolarità:
se l appartiene ad $R$ ho una singolarità fittizia
se $l=+\infty$ ho un polo
se NON Esiste il limite, ho unadiscontinuità essenziale.
Il problema è che:
$\lim_(z->0)(x^4 cos(1/z))=0$
quindi dovrebbe essere una singolarità fittizia.
Cosa sbaglio?
La formula è giusta?
Grazie
EDIT(13/02/17):Formule corrette
$f(z)=z^4 cos(1/z)$
$\lim_(z->0)(z^4 cos(1/z))=0$
Risposte
Studia dal libro non dal web, comunque se non ricordo male è giusto ciò che affermi, ma hai sbagliato a calcolare il limite:
$lim_{z->0} cos(1/z)$ è indefinito
Dunque abbiamo una singolarità essenziale
$lim_{z->0} cos(1/z)$ è indefinito
Dunque abbiamo una singolarità essenziale
Studia dal libro non dal web
Parole sante! di recente sono stato bocciato in un'esame per una formula sbagliata presa da un sito molto noto ed "affidabile"...
Infatti stavo "mettendo alla prova" questa formula e visto che non funzionava l'ho scritta qui =)
purtroppo studio fuori sede e in questo periodo non abbiamo tutor a disposizione
Tornando all'esercizio, il limite lo devo calcolare di tutta la funzione o solo della parte non olomorfa?
perchè se devo usare tutta la funzione allora ho:
$lim_(z->0)(x^4 cos(1/z))$
dove il limite del $cos(1/z)$ è indefinito ma è sicuramente nell'intervallo$[-1,1]$ , quindi moltiplicando per $0$ ottengo zero.
se invece uso solo la parte non olomorfa in casi tipo$z^3/z^2$ dovrei calcolare il $lim_(z->0)(1/z^2)$e avrei risultati sbagliati(un polo doppio al posto di una funzione olomorfa)
Ho controllato anche nelle dispense del mio prof e ho trovato conferma che il limite(di Tutta la funzione, ovvero$lim_(z->0)x^4cos(1/z)
$ ) non esiste se ho una discontinuità essenziale in zero.
sapete dirmi cosa sbaglio?
$ ) non esiste se ho una discontinuità essenziale in zero.
sapete dirmi cosa sbaglio?
Se il limite che devi calcolare è :
è evidente che il limite non esiste. Se invece hai scritto continuamente quel limite in modo sbagliato e intendevi scrivere :
(nota la \(\displaystyle z \) al posto della \(\displaystyle x \)) allora è vero che quel limite fa \(\displaystyle 0 \). In ogni caso \(\displaystyle z=0 \) è una singolarità essenziale per \(\displaystyle f(z) \) e (come hai giustamente notato) si verifica con lo sviluppo di Laurent. Probabilmente \(\displaystyle z=0 \) è un punto di diramazione per \(\displaystyle f(z) \) e di conseguenza quel "trucchetto" non può funzionare. Ho "scoperto" da poco i punti di diramazione quindi di più non so dirti..in ogni caso lo sviluppo di Laurent ci "azzecca" sempre quindi il consiglio è quello di utilizzarlo quando ci sono queste ambiguità.
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} x^4 \; cos\left(\frac{1}{z}\right) \)
è evidente che il limite non esiste. Se invece hai scritto continuamente quel limite in modo sbagliato e intendevi scrivere :
\(\displaystyle \lim_{z \to 0} z^4 \; cos\left(\frac{1}{z}\right) \)
(nota la \(\displaystyle z \) al posto della \(\displaystyle x \)) allora è vero che quel limite fa \(\displaystyle 0 \). In ogni caso \(\displaystyle z=0 \) è una singolarità essenziale per \(\displaystyle f(z) \) e (come hai giustamente notato) si verifica con lo sviluppo di Laurent. Probabilmente \(\displaystyle z=0 \) è un punto di diramazione per \(\displaystyle f(z) \) e di conseguenza quel "trucchetto" non può funzionare. Ho "scoperto" da poco i punti di diramazione quindi di più non so dirti..in ogni caso lo sviluppo di Laurent ci "azzecca" sempre quindi il consiglio è quello di utilizzarlo quando ci sono queste ambiguità.
Grazie mille Oiram! ho fatto copia incolla della prima e non mi sono accorto dell'errore. era quella con la z.
$lim_(z→0)z^4cos(1/z)$
Visto che il calcolo del limite non funziona sempre, preferisco calcolare lo sviluppo di Laurent, soprattutto perchè sono domande arisposta multipla, quindi non vedrebbero nemmeno i passaggi "giusti"
Grazie Mille =D
$lim_(z→0)z^4cos(1/z)$
Visto che il calcolo del limite non funziona sempre, preferisco calcolare lo sviluppo di Laurent, soprattutto perchè sono domande arisposta multipla, quindi non vedrebbero nemmeno i passaggi "giusti"
Grazie Mille =D
Quel limite non esiste, non è 0.
L'errore che state commettendo è di considerare il coseno come una funzione limitata, ma non lo è[nota]Le uniche funzioni complesse limitate e olomorfe ovunque sono le costanti, vedi teorema di Liouville; permette anche di dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra![/nota].
Mostriamo che il limite non esiste:
Il limite esiste se esiste per tutte le "direzioni di avvicinamento a 0", mostriamo che ve ne sono due distinte che discordano.
Se $z=-it \quad, t \in \mathbb{R}^{+}$.
$\lim_{t \to 0^+} (it)^4 \cos(\frac{1}{-it}) = \lim_{t \to 0} t^4*\cosh(1/t) = +\infty$
Se $z=t \quad , t \in \mathbb{R}^+$.
$\lim_{t \to 0^+} (t)^4 \cos(\frac{1}{t}) = 0$.
Dunque il limite non è esiste e quindi quella è una singolarità essenziale.
L'errore che state commettendo è di considerare il coseno come una funzione limitata, ma non lo è[nota]Le uniche funzioni complesse limitate e olomorfe ovunque sono le costanti, vedi teorema di Liouville; permette anche di dimostrare il teorema fondamentale dell'algebra![/nota].
Mostriamo che il limite non esiste:
Il limite esiste se esiste per tutte le "direzioni di avvicinamento a 0", mostriamo che ve ne sono due distinte che discordano.
Se $z=-it \quad, t \in \mathbb{R}^{+}$.
$\lim_{t \to 0^+} (it)^4 \cos(\frac{1}{-it}) = \lim_{t \to 0} t^4*\cosh(1/t) = +\infty$
Se $z=t \quad , t \in \mathbb{R}^+$.
$\lim_{t \to 0^+} (t)^4 \cos(\frac{1}{t}) = 0$.
Dunque il limite non è esiste e quindi quella è una singolarità essenziale.
Grazie Bremen, stavo calcolando il limite nel campo reale XD
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