Classificare gli zeri in una funzione razionale (analisi complessa)

[Electrolila]

Buonasera, ho dei dubbi riguardo all'argomento espresso nel titolo. A quanto ho capito per trovare gli zeri devo porre uguali a zero sia il numeratore che il denominatore. Solo le radici del denominatore sono candidate a essere singolarità (fra le quali gli eventuali poli), giusto? Ora, classificare gli zeri del denominatore mi risulta abbastanza chiaro: li sostituisco al numeratore e al denominatore e alle loro eventuali derivate fino a quando ottengo quantità diverse da zero e in base a ciò ne consegue l'ordine e il tipo. Ma come fare per classificare gli zeri del numeratore? Stesso procedimento? Devo però considerare solo gli zeri del numeratore che fanno parte del dominio datomi dal denominatore?
Mi riferisco a funzioni del genere:

\(\displaystyle \frac{4z^{4}-z^{2}\left ( 8j+1 \right )+2j}{sen\pi z-1} \)

[gugo82]

La funzione proposta non è mica razionale...

Ad ogni modo, gli zeri di un rapporto vengono fuori in corrispondenza degli zeri del numeratore non compensati/parzialmente compensati (nel loro ordine) da zeri del denominatore.
Per classificare gli zeri di una funzione olomorfa (che sono tutti di ordine finito, se la funzione non è identicamente nulla) basta calcolare un po' di derivate successive... Se già sai come fare col denominatore, basta fare lo stesso col numeratore.

Se no, ti conviene andarti a studiare la teoria dal testo di riferimento