Classi limite

[poncelet]

Devo determinare la classe limite di alcune successioni. Per esempio:

$nsin(n\pi/2)$

Siccome $sin(n\pi/2)$ oscilla tra $-1, 0, 1$ avrei che la classe limite è data da ${2k "se k>=0", 2k-1 "se k<0"}$ e di conseguenza $"limsup"nsin(n\pi/2)=+oo$ e $"liminf"nsin(n\pi/2)=-oo$

L'altra successione è

$sqrt(n)-[sqrt(n)]$

In questo caso ad intuito ho che vale

$0
e quindi

$"liminf"sqrt(n)-[sqrt(n)]=0$ e $"limsup"sqrt(n)-[sqrt(n)]=1$

ma non so come esprimere la classe limite.
Sono giusti i ragionamenti?

[maurer]

"maxsiviero":
$sqrt(n)-[sqrt(n)]$

In questo caso ad intuito ho che vale

$0
e quindi

$"liminf"sqrt(n)-[sqrt(n)]=0$ e $"limsup"sqrt(n)-[sqrt(n)]=1$

Le disuguaglianze sono certamente giuste (ma in verità i segni di uguale sono scambiati!), ma non puoi concludere solo da queste il valore dei limiti superiore ed inferiore! Ad esempio [tex]-2 \le \sin(n) \le 2[/tex], ma [tex]\displaystyle \limsup_{n \to +\infty} \sin(n) = 1 \ne 2[/tex].

Si dà però il caso che tu abbia azzeccato i valori giusti. Vediamo come dimostrarlo per bene. Innanzi tutto per la disuguaglianza [tex]\sqrt{n} - [\sqrt{n}] \ge 0[/tex] concludiamo che [tex]\displaystyle \liminf_{n \to +\infty} \sqrt{n} - [\sqrt{n}] \ge 0[/tex]. Per la caratterizzazione del limite inferiore finito avremo concluso a patto di mostrare che esiste una sottosuccessione che converge proprio a [tex]0[/tex]. Che ne dici, la successione [tex]n_k = k^2[/tex] può andare bene? Si ha [tex]\sqrt{k^2} - [\sqrt{k^2}] = k - k = 0[/tex] (sicché è una sottosuccessione costante) e quindi [tex]\displaystyle \liminf_{n\to+\infty} \sqrt{n} -[\sqrt{n}] = 0[/tex].

Riesci a riprodurre un ragionamento simile a questo che dimostri che [tex]\displaystyle \limsup_{n\to+\infty} \sqrt{n} - [\sqrt{n}] = 1[/tex]?

Prima rispondi a questa domanda, poi analizziamo la classe limite...

[poncelet]

Intanto grazie per la risposta. Per quanto riguarda il calcolo del limite superiore io avrei determinato la sottosuccessione [tex]{h_n=n^2-1}[/tex] la quale se non erro dovrebbe avere come limite [tex]1[/tex]. Siccome avevamo già verificato che la successione originaria era [tex]0\leq \sqrt{n}-\lfloor \sqrt{n}\rfloor<1[/tex] direi che [tex]\displaystyle \limsup_{n\to \infty}\sqrt{n}-\lfloor \sqrt{n}\rfloor=1[/tex].

A questo punto rimane da determinare la classe limite che deve contenere tutti i limiti relativi a sottosuccessioni estratte da quella principale. Non so come procedere. A occhio mi verrebbe da dire che la classe limite è data dall'insieme [tex]\{0, 1\}[/tex] ma non saprei formalizzare il mio ragionamento.

[maurer]

La prima parte è ok. La seconda parte invece no: non sapresti formalizzare il tuo ragionamento in gran parte perché staresti provando una cosa falsa!
Infatti si ha (le uguaglianze valgono definitivamente):

[tex]\displaystyle \lim_{k \to +\infty} \sqrt{k^2 -k} - \left\lfloor \sqrt{k^2 - k} \right\rfloor = \lim_{k \to +\infty} \sqrt{k^2 - k} - (k - 1) = \lim_{k \to +\infty} \frac{k^2 - k - k^2 +2k - 1}{\sqrt{k^2 - k} + k-1} = \\ = \lim_{k \to +\infty} \frac{k - 1}{\sqrt{k^2 - k} + k -1} = \frac{1}{2}[/tex]

Per determinare tutta la classe limite, devo rifletterci ancora un po'...

La classe limite della prima successione, invece, è più facile da determinare. Infatti è [tex]\{-\infty, 0, +\infty\}[/tex] (te ne accorgi osservando che le uniche sottosuccessioni convergenti sono quelle che contengono definitivamente solo interi congrui a 0, a 1 oppure a 2 modulo 3, e per queste sai calcolare effettivamente il valore limite).

[maurer]

Ok, ok. A volte il continuo è decisamente più facile del discreto.

Voglio provare che in effetti la classe limite della successione considerata è [tex][0,1][/tex]. Abbiamo già provato che [tex]0[/tex] e [tex]1[/tex] fanno parte della classe limite della nostra successione. Consideriamo adesso [tex]x_0 \in (0,1)[/tex] e sia [tex]\epsilon > 0[/tex] tale che [tex]x_0 + \epsilon < 1[/tex], [tex]x_0 + \epsilon > 0[/tex]. Introduciamo la funzione [tex]f(x) = \sqrt{x} - \lfloor \sqrt{x} \rfloor[/tex] ed osserviamo che negli intervalli [tex][n^2, (n+1)^2)[/tex] con [tex]n \in \mathbb N[/tex] la funzione è strettamente monotona. Per ogni [tex]n[/tex] poniamo [tex]x_n^+ = f^{-1}(x_0 + \epsilon) \cap [n^2, (n+1)^2)[/tex] e [tex]x_n^- = f^{-1}(x_0 - \epsilon) \cap [n^2, (n+1)^2)[/tex]. Possiamo scrivere esplicitamente questi elementi, considerato che in [tex][n^2, (n+1)^2)[/tex] si ha [tex]\lfloor \sqrt{x} \rfloor = n[/tex]. Si ha [tex]x_n^+ = (n + x_0 + \epsilon)^2[/tex], [tex]x_n^- = (n + x_0 - \epsilon)^2[/tex]. Ora
[tex]x_n^+ - x_n^- = (n + x_0 + \epsilon)^2 - (n + x_0 - \epsilon)^2 = 4\epsilon(n + x_0)[/tex]
sicché [tex]\displaystyle \lim_{n \to +\infty} x_n^+ - x_n^- = +\infty[/tex] e pertanto nell'intervallo [tex][x_n^-, x_n^+][/tex] cadranno definitivamente degli interi, il che significa che possiamo costruire una sottosuccessione della successione data la cui immagine sia contenuta in [tex](x_0 - \epsilon, x_0 + \epsilon)[/tex]. Siccome questo discorso vale per [tex]\epsilon[/tex] generico, concludiamo che [tex]x_0[/tex] è un punto di accumulazione per l'immagine della successione e quindi esiste una sottosuccessione convergente a [tex]x_0[/tex], da cui l'asserto.

[poncelet]

Ti ringrazio per il tempo che hai dedicato al mio quesito. Adesso mi leggo con calma la tua dimostrazione.