Classe limite di successione

[Sk_Anonymous]

L'esercizio è il seguente:

Quale è l'insieme dei valori limite della successione $(-1)^n n^(1/6) sin(1/n)$ ($n \in N$)?

Se $n \to + \infty$, allora $sin(1/n) \to 0$ e $n^(1/6) \to + \infty$. Siccome il seno è una funzione limitata dovrebbe "prevalere" la potenza (che invece non è limitata), e quindi tutta la successione dovrebbe divergere senza segno (a causa del $(-1)^n$ ).

Perchè non è così?

[dissonance]

"raffamaiden":Siccome il seno è una funzione limitata dovrebbe "prevalere" la potenza (che invece non è limitata)

Ma no, che brutto errore. Scusa, allora cose come

$lim_{n \to infty} (log n)/n=0$

non hanno ragione di esistere? E no, perché $(1/n)$ è una successione limitata e quindi "prevale" $log n$ che non è limitata, secondo il tuo ragionamento. Stai attento.

[Richard_Dedekind]

Scusami, ma perché dovrebbe divergere? Fai qualche conto: osserva che

[tex](-1)^n\cdot n^{1/6}\sin(1/n)= \displaystyle (-1)^n\frac{1}{n^{5/6}}\cdot \frac{\sin(1/n)}{1/n}[/tex]

e poiché

[tex]\displaystyle a_n=\frac{\sin(1/n)}{1/n}\to 1,\;\;\;b_n=\frac{1}{n^{5/6}}\to 0[/tex]

ne segue che

[tex](-1)^n \cdot a_n b_n \to 0[/tex]

in quanto prodotto di una successione infinitesima, di una limitata e di una convergente.

[Sk_Anonymous]

Capito, ho sparato una boiata . E' corretto, l'insieme dei valori limite è ${0}$. Grazie ad entrambi.