Classe limite
Buona sera.
Qualcuno mi può aiutare con il concetto di classe limite?
Ho capito che è l'insieme di valori limite di una successione illimitata , cioè l'insieme dei limiti delle sottosuccessioni da essa estratte (se esiste il limite la classe limite contiene un solo valore).
Dunque ad esempio la classe limite di una funzione periodica è costituita dall'insieme di valori che essa può assumere.
Ad esempio la classe limite di $sin(n pi/2)$ è ${-1,0,1}$
(fin qui è giusto?)
Ma in generale, l'unico modo per determinarla è sperare di vedere i valori "ad occhio"?
In particolare, la classe limite di
$(2n+1)/(n+4)sin(n pi/2)$
è $2*{-1,0,1}$?? (dove ovviamente $2$ è il limite del primo fattore)
Grazie..
Qualcuno mi può aiutare con il concetto di classe limite?
Ho capito che è l'insieme di valori limite di una successione illimitata , cioè l'insieme dei limiti delle sottosuccessioni da essa estratte (se esiste il limite la classe limite contiene un solo valore).
Dunque ad esempio la classe limite di una funzione periodica è costituita dall'insieme di valori che essa può assumere.
Ad esempio la classe limite di $sin(n pi/2)$ è ${-1,0,1}$
(fin qui è giusto?)
Ma in generale, l'unico modo per determinarla è sperare di vedere i valori "ad occhio"?
In particolare, la classe limite di
$(2n+1)/(n+4)sin(n pi/2)$
è $2*{-1,0,1}$?? (dove ovviamente $2$ è il limite del primo fattore)
Grazie..
Risposte
In generale sì, è questione di occhio.
Ad esempio, la successione di termine generale [tex]$\sin n$[/tex] ha come classe limite tutto l'intervallo [tex]$[-1,1]$[/tex] e dimostrarlo è un po' laborioso.
Ad ogni modo,si può provare il seguente teoremino: se [tex]$(a_n)$[/tex] converge ad [tex]$a$[/tex] e se [tex]$(b_n)$[/tex] è limitata con classe limite [tex]$B$[/tex], allora la classe limite di [tex]$(a_nb_n)$[/tex] è [tex]$aB$[/tex].
Prova, non è difficile.
Ad esempio, la successione di termine generale [tex]$\sin n$[/tex] ha come classe limite tutto l'intervallo [tex]$[-1,1]$[/tex] e dimostrarlo è un po' laborioso.
Ad ogni modo,si può provare il seguente teoremino: se [tex]$(a_n)$[/tex] converge ad [tex]$a$[/tex] e se [tex]$(b_n)$[/tex] è limitata con classe limite [tex]$B$[/tex], allora la classe limite di [tex]$(a_nb_n)$[/tex] è [tex]$aB$[/tex].
Prova, non è difficile.
"gugo82":
Ad esempio, la successione di termine generale [tex]$\sin n$[/tex] ha come classe limite tutto l'intervallo [tex]$[-1,1]$[/tex] e dimostrarlo è un po' laborioso.
Non mi è molto chiaro. Significa che per tutti i valori di $n in [0, 2pi]$ il $sin$ raggiungerà tutti i valori dell'intervallo $[-1,1]$?
Perché se è cosi mi sembra poco probabile (nella mia ignoranza)
Come hai detto tu, la classe limite di una successione [tex]$(a_n)$[/tex] è la classe di tutti gli elementi [tex]$a\in \widehat{\mathbb{R}}$[/tex] tali che esiste una successione [tex]$(a_{n_k})$[/tex] estratta da [tex]$(a_n)$[/tex] con [tex]$\lim_k a_{n_k}=a$[/tex].
Ebbene, per la successione [tex]$(\sin n)$[/tex] risulta che per ogni [tex]$a\in [-1,1]$[/tex] esiste una sottosuccessione tale che [tex]$\lim_k \sin n_k=a$[/tex].
Questo è un fatto stupefacente, eppure è vero...
Ebbene, per la successione [tex]$(\sin n)$[/tex] risulta che per ogni [tex]$a\in [-1,1]$[/tex] esiste una sottosuccessione tale che [tex]$\lim_k \sin n_k=a$[/tex].
Questo è un fatto stupefacente, eppure è vero...
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