Classe limite.
Questo è l'esercizio intero: http://img691.imageshack.us/f/classelimite.jpg/
Il dubbio sussiste nell'ultima parte, la terza: determinare la classe limite per $x -> +oo$ di:
$(1)/(e^x(1+ cosx))$
Sappiamo che $1 + cosx$ può toccare i valori compresi tra 0 e 2. Come possiamo però confrontare l'andamento a
$-1$ del coseno (con il conseguente andamento a $0$ della parentesi) con l'esponenziale? In conclusione, qual è il limite della funzione per $x$ che si avvicina a $(2k+1)\pi$?
Il dubbio sussiste nell'ultima parte, la terza: determinare la classe limite per $x -> +oo$ di:
$(1)/(e^x(1+ cosx))$
Sappiamo che $1 + cosx$ può toccare i valori compresi tra 0 e 2. Come possiamo però confrontare l'andamento a
$-1$ del coseno (con il conseguente andamento a $0$ della parentesi) con l'esponenziale? In conclusione, qual è il limite della funzione per $x$ che si avvicina a $(2k+1)\pi$?
Risposte
Premetto che non ho mai sentito parlare di classe limite. Comunque l'etimologia dovrebbe essere Classe = insieme, e limite dovrebbe stare per punti limite.
Ma veniamo al punto.
Devi non tener conto dei punti per cui la funzione non esiste ovviamente, cioè i punti per cui il coseno è uguale a $-1$, in tutti gli altri casi la successione converge, o a $0$ o a $+oo$ . Il limite superiore è quindi $+oo$, quello inferiore $0$.
Comunque il problema che hai sollevato alla fine non si può porre, perchè una volta che hai specificato $x$, poi la successione va con $n*x$, e se anche fosse che $pi/x$ sia razionale questo caso lo puoi escludere, perchè la successione non avrebbe senso, una successione deve potersi conoscere almeno definitivamente, e nel caso qui detto si avrebbe sempre almeno un punto in cui il coseno è uguale a $-1$.
[edit] Ti pongo una domanda: Ha senso secondo te fare il limite per $x->+oo$ di quella funzione?
non devi chiederti quale limite ha nei punti in cui il coseno vale $-1$ , ma se in quei punti abbia valore o no. [/edit]
Ma veniamo al punto.
Devi non tener conto dei punti per cui la funzione non esiste ovviamente, cioè i punti per cui il coseno è uguale a $-1$, in tutti gli altri casi la successione converge, o a $0$ o a $+oo$ . Il limite superiore è quindi $+oo$, quello inferiore $0$.
Comunque il problema che hai sollevato alla fine non si può porre, perchè una volta che hai specificato $x$, poi la successione va con $n*x$, e se anche fosse che $pi/x$ sia razionale questo caso lo puoi escludere, perchè la successione non avrebbe senso, una successione deve potersi conoscere almeno definitivamente, e nel caso qui detto si avrebbe sempre almeno un punto in cui il coseno è uguale a $-1$.
[edit] Ti pongo una domanda: Ha senso secondo te fare il limite per $x->+oo$ di quella funzione?
non devi chiederti quale limite ha nei punti in cui il coseno vale $-1$ , ma se in quei punti abbia valore o no. [/edit]
@regim: temo che il problema sia un po' più complesso. Sicuramente il limite di quella funzione per [tex]x\to+\infty[/tex] non esiste, ma mi sembra un po' azzardato dire che la classe limite coincide con [tex][0,+\infty[[/tex]. Bisognerebbe per lo meno argomentare...
Sul fatto che [tex]\liminf_{n\to+\infty}\frac{1}{e^x(1+\cos x)} = 0[/tex] credo che non ci siano dubbi... Io invece ne nutro un po' sul fatto che [tex]\limsup_{n\to+\infty}\frac{1}{e^x(1+\cos x)} = +\infty[/tex]. La mia intuizione mi suggerirebbe che anche il limite superiore sia uguale a 0, però non riesco ad argomentare... tu riesci a giustificare rigorosamente il tuo claim?
Sul fatto che [tex]\liminf_{n\to+\infty}\frac{1}{e^x(1+\cos x)} = 0[/tex] credo che non ci siano dubbi... Io invece ne nutro un po' sul fatto che [tex]\limsup_{n\to+\infty}\frac{1}{e^x(1+\cos x)} = +\infty[/tex]. La mia intuizione mi suggerirebbe che anche il limite superiore sia uguale a 0, però non riesco ad argomentare... tu riesci a giustificare rigorosamente il tuo claim?
No, maurer, regim ha ragione.
Vedila così.
La funzione [tex]$g(x):=\frac{e^{-x}}{1+\cos x}$[/tex] è definita in [tex]$X:= \mathbb{R} \setminus \bigcup_{k\in \mathbb{Z}} \{ \pi +2k\ \pi\}$[/tex], di classe [tex]$C^\infty (X)$[/tex], positiva in [tex]$X$[/tex]; in ogni intervallo [tex]$I_k:=]\pi +2k\ \pi ,\pi +2(k+1)\ \pi[$[/tex] la funzione prende tutti i valori in un intervallo del tipo [tex]$J_k =[a_k,+\infty[$[/tex] con [tex]$a_k>0$[/tex].
Il valore [tex]$a_k$[/tex] è infinitesimo quando [tex]$k\to +\infty$[/tex]: invero esso è assunto lontano dagli estremi dell'intervallo [tex]$I_k$[/tex], in particolare sarà assunto in un sottointervallo chiuso [tex]$U_k$[/tex] di [tex]$I_k$[/tex] in cui [tex]$\tfrac{1}{1+\cos x} \leq 2010$[/tex]; ne viene:
[tex]$0\leq a_k=\min_{I_k} g(x)=\min_{U_k} g(x) \leq 2010\ \min_{U_k} e^{-x} \leq 2010\ \max_{I_k} e^{-x} =2010\ e^{-(2k+1)\pi}$[/tex]
e perciò [tex]$\lim_{k\to +\infty} a_k =0$[/tex].
Quindi la successione degli intervalli immagine [tex]$J_k$[/tex] è crescente e tende a [tex]$]0,+\infty[$[/tex] quando [tex]$k\to +\infty$[/tex]; ne viene che ogni [tex]$y\in ]0,+\infty[$[/tex] è un punto limite di [tex]$g$[/tex] (infatti esiste un [tex]$K$[/tex] abbastanza grande tale che [tex]$y\in J_k$[/tex] per ogni [tex]$k>K$[/tex]).
Che poi anche $0$ sia un punto limite si giustifica subito, usando [tex]$\lim_{k\to +\infty} a_k= 0$[/tex] ed il teorema di Weierstrass.
E poi, detto alla buona, se fosse anche [tex]$\limsup_{x\to +\infty} g(x)=0$[/tex] si avrebbe [tex]$\lim_{x\to +\infty} g(x) =0$[/tex], il che è assurdo perchè la funzione non è regolare in [tex]$+\infty$[/tex].
Vedila così.
La funzione [tex]$g(x):=\frac{e^{-x}}{1+\cos x}$[/tex] è definita in [tex]$X:= \mathbb{R} \setminus \bigcup_{k\in \mathbb{Z}} \{ \pi +2k\ \pi\}$[/tex], di classe [tex]$C^\infty (X)$[/tex], positiva in [tex]$X$[/tex]; in ogni intervallo [tex]$I_k:=]\pi +2k\ \pi ,\pi +2(k+1)\ \pi[$[/tex] la funzione prende tutti i valori in un intervallo del tipo [tex]$J_k =[a_k,+\infty[$[/tex] con [tex]$a_k>0$[/tex].
Il valore [tex]$a_k$[/tex] è infinitesimo quando [tex]$k\to +\infty$[/tex]: invero esso è assunto lontano dagli estremi dell'intervallo [tex]$I_k$[/tex], in particolare sarà assunto in un sottointervallo chiuso [tex]$U_k$[/tex] di [tex]$I_k$[/tex] in cui [tex]$\tfrac{1}{1+\cos x} \leq 2010$[/tex]; ne viene:
[tex]$0\leq a_k=\min_{I_k} g(x)=\min_{U_k} g(x) \leq 2010\ \min_{U_k} e^{-x} \leq 2010\ \max_{I_k} e^{-x} =2010\ e^{-(2k+1)\pi}$[/tex]
e perciò [tex]$\lim_{k\to +\infty} a_k =0$[/tex].
Quindi la successione degli intervalli immagine [tex]$J_k$[/tex] è crescente e tende a [tex]$]0,+\infty[$[/tex] quando [tex]$k\to +\infty$[/tex]; ne viene che ogni [tex]$y\in ]0,+\infty[$[/tex] è un punto limite di [tex]$g$[/tex] (infatti esiste un [tex]$K$[/tex] abbastanza grande tale che [tex]$y\in J_k$[/tex] per ogni [tex]$k>K$[/tex]).
Che poi anche $0$ sia un punto limite si giustifica subito, usando [tex]$\lim_{k\to +\infty} a_k= 0$[/tex] ed il teorema di Weierstrass.
E poi, detto alla buona, se fosse anche [tex]$\limsup_{x\to +\infty} g(x)=0$[/tex] si avrebbe [tex]$\lim_{x\to +\infty} g(x) =0$[/tex], il che è assurdo perchè la funzione non è regolare in [tex]$+\infty$[/tex].
"maurer":
@regim: temo che il problema sia un po' più complesso. Sicuramente il limite di quella funzione per [tex]x\to+\infty[/tex] non esiste, ma mi sembra un po' azzardato dire che la classe limite coincide con [tex][0,+\infty[[/tex]. Bisognerebbe per lo meno argomentare...
Sul fatto che [tex]\liminf_{n\to+\infty}\frac{1}{e^x(1+\cos x)} = 0[/tex] credo che non ci siano dubbi... Io invece ne nutro un po' sul fatto che [tex]\limsup_{n\to+\infty}\frac{1}{e^x(1+\cos x)} = +\infty[/tex]. La mia intuizione mi suggerirebbe che anche il limite superiore sia uguale a 0, però non riesco ad argomentare... tu riesci a giustificare rigorosamente il tuo claim?
Non ho detto che sia $[0,+oo)$ ma l'insieme ${0,+oo}$ della retta reale estesa. Altri valori non ne vedo.
caso $+oo$:
Prendi $x<0$ in un punto come $-pi/2$ e scegli $n$ dispari, trovi sempre qualche valore della funzione a destra di qualunque numero positivo prendendo $n$ opportunamente grande, considera che il coseno è sempre nullo.
caso $0$
La stessa cosa di prima con $x = pi/2$, sempre $n$ dispari.
Sì, scusate, deve essere stata l'ora tarda... me ne sono reso conto questa mattina di aver scritto una cavolata...
Innanzitutto mi scuso: con una ricerca più approfondita ho scoperto che è stato già trattato addirittura lo stesso esercizio. https://www.matematicamente.it/forum/cla ... 59731.html
Detto questo, mi rimane il dubbio principale. Come dimostro che posso estrarre una successione $x_n$ che abbia come valore limite $+oo$
Nel vecchio topic il primo post c'è una risoluzione (errata) sullo stampo di quella che dovrei trovare io. In pratica trovare il modo di palesare (e poi confrontare) l'esponenziale e la parentesi. Come già detto i valori limite sono tutti $0$, a parte quelli con $x -> (2k + 1)pi$. Sappiamo che la funzione non è definita dove il coseno vale $-1$, ma il discorso è lo stesso, in quanto posso prendere un valore vicino quanto voglio, portando la parentesi prossima a zero.
Studio di funzione, de l'Hopital e altri strumenti non compresi nel programma di Analisi I (che ahimè cambia quasi in ogni facoltà, da noi ci fermiamo prima di toccare le derivate) non sono utilizzabili per la risoluzione del problema.
@regim: non mi è chiaro come giustifichi il caso $+oo$, la funzione tende ad infinito, perchè prendere come riferimento un valore negativo?
Detto questo, mi rimane il dubbio principale. Come dimostro che posso estrarre una successione $x_n$ che abbia come valore limite $+oo$
Nel vecchio topic il primo post c'è una risoluzione (errata) sullo stampo di quella che dovrei trovare io. In pratica trovare il modo di palesare (e poi confrontare) l'esponenziale e la parentesi. Come già detto i valori limite sono tutti $0$, a parte quelli con $x -> (2k + 1)pi$. Sappiamo che la funzione non è definita dove il coseno vale $-1$, ma il discorso è lo stesso, in quanto posso prendere un valore vicino quanto voglio, portando la parentesi prossima a zero.
Studio di funzione, de l'Hopital e altri strumenti non compresi nel programma di Analisi I (che ahimè cambia quasi in ogni facoltà, da noi ci fermiamo prima di toccare le derivate) non sono utilizzabili per la risoluzione del problema.
@regim: non mi è chiaro come giustifichi il caso $+oo$, la funzione tende ad infinito, perchè prendere come riferimento un valore negativo?
@francalalla: Devo dedurne che la mia presente soluzione (che usa solo la definizione di limite, il teorema di Weierstrass e la monotonia dell'esponenziale) non ti piaccia proprio? 
Il metodo di Gugo82 non ti piace?
Posso provare a dimostrarlo in un altro modo, adesso che mi sono reso conto dell'errore che commettevo.
Definiamo una successione per ricorsione in questo modo: [tex]x_0[/tex] appartiene a [tex][0,\pi)[/tex], in modo qualsiasi. Dal momento che, fissato [tex]n\in \mathbb{N}^+[/tex] si ha [tex]\lim_{x \to (2n+1)\pi^-} \frac{1}{e^x(1+cos(x))} = +\infty[/tex], esiste un [tex]x_n[/tex] in [tex]((2n\pi,(2n+1)\pi)[/tex] tale che [tex]\frac{1}{e^{x_n}(1+\cos(x_n))} > n[/tex] (basta applicare la definizione di limite). Ma allora si ha [tex]x_n > 2n\pi[/tex], sicché [tex]\lim_{n\to+\infty}x_n = +\infty[/tex] e d'altra parte [tex]\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{e^{x_n}(1+\cos(x_n))} \ge \lim_{n\to+\infty} n = +\infty[/tex].
D'altra parte, sfruttando il teorema dei valori intermedi, si riesce a dimostrare proprio che la classe limite è [tex][0,+\infty)[/tex].
Che poi è esattamente quanto ha scritto Gugo82, con le parole cambiate
Posso provare a dimostrarlo in un altro modo, adesso che mi sono reso conto dell'errore che commettevo.
Definiamo una successione per ricorsione in questo modo: [tex]x_0[/tex] appartiene a [tex][0,\pi)[/tex], in modo qualsiasi. Dal momento che, fissato [tex]n\in \mathbb{N}^+[/tex] si ha [tex]\lim_{x \to (2n+1)\pi^-} \frac{1}{e^x(1+cos(x))} = +\infty[/tex], esiste un [tex]x_n[/tex] in [tex]((2n\pi,(2n+1)\pi)[/tex] tale che [tex]\frac{1}{e^{x_n}(1+\cos(x_n))} > n[/tex] (basta applicare la definizione di limite). Ma allora si ha [tex]x_n > 2n\pi[/tex], sicché [tex]\lim_{n\to+\infty}x_n = +\infty[/tex] e d'altra parte [tex]\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{e^{x_n}(1+\cos(x_n))} \ge \lim_{n\to+\infty} n = +\infty[/tex].
D'altra parte, sfruttando il teorema dei valori intermedi, si riesce a dimostrare proprio che la classe limite è [tex][0,+\infty)[/tex].
Che poi è esattamente quanto ha scritto Gugo82, con le parole cambiate
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