Classe limite

[mgiaff]

Devo calcolare la classe limite di:

$ f(x) = e^(-x) / (1+cos x) $ per $ x -> +infty $

Si ha che il limite è sempre $ 0 $ per ogni punto, eccetto che per gli intorni di $ \pi + 2 k \pi $. In questo caso si ha un'indecisione del tipo $ 0 / 0 $. Plottando la funzione con il PC si vede chiaramente che in questi intorni la funzione tende a $+infty$. Dopo molti scervellamenti ho tentato una risoluzione di questo tipo:

$ f(x) = (e^(-x)*(1-cos x)) / ((1+cos x)*(1-cos x)) = (e^(-x)*(1-cos x)) / ((1-cos^2 x)) = (e^(-x)*(2*sin^2 x/2)) / (sin^2 x) = ((e^(-x)*(2*sin^2 x/2))/x^2) / ((sin^2 x)/x^2) -> 2*e^(-x) / x^2 -> 0$

Che è errata... Idee?

EDIT: Trovato l'errore: $ (sin^2 x) / x^2 -> 0 $ per $x -> +infty$ e non tende a $1$ come ho considerato in questa risoluzione xD

[gugo82]

Scusa, ma che significa "calcolare la classe limite"?

[mgiaff]

Determinare la classe limite, scusa xD

[gugo82]

Sì, vabbè... Ma non capisco lo stesso. Cos'è "la classe limite"?

[mgiaff]

Ah La definizione (dal mio libro "Analisi Matematica", P. M. Soardi) è questa:

Sia ${x_n}$ una successione a valori reali. Un elemento $\alpha in bar(RR)$ si chiama valore limite della successione se esiste una sottosuccessione ${x_(n_k)}$ tale che $lim_(n->+infty) x_(n_k) = \alpha$. L'insieme di dei valori limite di ${x_n}$ si chiama classe limite della successione.

Un esempio: la classe limite di $x_n = sin(n \pi / 2)$ è l'insieme ${-1, 0, 1}$.



In pratica se la successione è oscillante, si considerano tutti i valori possibili del limite xD

Per maggiori dettagli: http://www.matapp.unimib.it/~soardi/Analisi_I/AALIBRO.pdf pagina 111 (nel PDF è la 121)

[gugo82]

Aaaaaaaaaaaa... Ecco.

Va bene.
Allora basta notare che in ogni intervallo del tipo [tex]$I_k:=]-\pi +2k\pi , \pi +2k\pi [$[/tex] (con [tex]$k\in \mathbb{N}$[/tex]) si ha [tex]$f(I_k) =\left[ e^{-\tfrac{\pi}{2} -2k\pi},+\infty \right[$[/tex]* con [tex]$\min_{I_k} f= e^{-\tfrac{\pi}{2} -2k\pi} \to 0^+$[/tex]; quindi, comunque si fissi [tex]$y\in ]0,+\infty[$[/tex], per [tex]$k\in \mathbb{N}$[/tex] abbastanza grande esiste almeno un [tex]$x_k\in I_k$[/tex] tale che [tex]$f(x_k)=y$[/tex]; inoltre la successione formata dagli [tex]$x_k$[/tex] diverge positivamente, perchè minorata dalla successione degli estremi inferiori [tex]$-\pi +k\pi$[/tex]; d'altra parte, se prendi [tex]$y=0$[/tex], basta scegliere [tex]$x_k=\frac{\pi}{2} +2k\pi$[/tex] per avere una successione divergente tale che [tex]$f(x_k)\to 0$[/tex].


__________
* Sperando di non aver sbagliato i conti, [tex]$f$[/tex] dovrebbe prendere minimo in [tex]$\tfrac{\pi}{2} +2k\pi \in I_k$[/tex].

[dissonance]

Una osservazione - @mgiaff: la definizione di classe limite (attento che non è una terminologia universale - più spesso si parla di insieme dei valori di aderenza o dei punti limite) che hai fornito riguarda solo le successioni, mentre il tuo esercizio riguarda una funzione di variabile continua. In questo caso le definizioni vanno adattate:

Sia $f:A\subset RR \to RR$ e sia $x_0\in RR$ un punto di accumulazione per $A$. Si dice che $l\in[-\infty, \infty]$ è un punto limite o un valore di aderenza di $f$ per $x\tox_0$ se esiste una successione $x_n$ di elementi di $A\setminus{x_0}$ tale che $x_n\to x_0$ e $f(x_n) \to l$. Nota che questa non è l'unica definizione possibile, e inoltre ha qualche problema nell'estensione a spazi topologici più generali di $RR$; ma è sicuramente la più comoda.

[j18eos]

Finché si richiede che lo spazio topologico sia N1 (ogni punto abbia un sistema fondamentale d'intorni numerabile) non vedo grossi problemi, senza tale ipotesi ci sono eccome. Un'ulteriore piccola digressione dall'analisi alla topologia!

[dissonance]

"j18eos":Finché si richiede che lo spazio topologico sia N1 (ogni punto abbia un sistema fondamentale d'intorni numerabile) non vedo grossi problemi, senza tale ipotesi ci sono eccome.

In quel caso non si parlerà più di "successioni" ma di "nets" ( e così ho trovato l'occasione di fare lo splendido con la terminologia appena imparata! ).

[ViciousGoblin]

"dissonance":[quote="j18eos"]Finché si richiede che lo spazio topologico sia N1 (ogni punto abbia un sistema fondamentale d'intorni numerabile) non vedo grossi problemi, senza tale ipotesi ci sono eccome.

In quel caso non si parlerà più di "successioni" ma di "nets" ( e così ho trovato l'occasione di fare lo splendido con la terminologia appena imparata! ).[/quote]
[OT]
Sulla mia grammatica delle medie c'era scritto che il termini importati da altre lingue rimangono invariabili al plurale . Ma è roba di un a quarantina di anni fa e riconosco che tale regoletta non è molto osservata nowadays.
Però mi sembra tu sia sensibile a queste questioni "di retroguardia".
[OT]

[mgiaff]

Scusa gugo82, ma come lo noti che in ogni intervallo l'immagine è quella? Nel senso, come ti viene questa genialata?

"dissonance":Una osservazione - @mgiaff: la definizione di classe limite (attento che non è una terminologia universale - più spesso si parla di insieme dei valori di aderenza o dei punti limite) che hai fornito riguarda solo le successioni, mentre il tuo esercizio riguarda una funzione di variabile continua. In questo caso le definizioni vanno adattate.

Sì hai ragione, scusate, ho riportato la definizione per le successioni A pagina 181 del PDF che ho linkato sopra (nel libro è la 171) c'è la definizione corrispondente per le funzioni, che è analoga a quella che hai postato tu.

[gugo82]

"mgiaff":Scusa gugo82, ma come lo noti che in ogni intervallo l'immagine è quella? Nel senso, come ti viene questa genialata?

Mi sono studiato la funzione, ovviamente.
Che è positiva è ovvio, che [tex]$\lim_{x\to \pm \pi+2k\pi} f(x)=+\infty$[/tex] pure, quindi bastava determinare il minimo, cosa che ho fatto studiando la derivata prima.

[mgiaff]

Eh infatti, anche io ci ho pensato, il fatto è che questo esercizio è di Analisi 1. Da me le derivate sono il primo argomento di Analisi 2, quindi non sono autorizzato a sfruttarle.

[mgiaff]

Perché sarebbe ovvio che [tex]$\lim_{x\to \pm \pi+2k\pi} f(x)=+\infty$[/tex]?
Cioè, in realtà sto sempre studiando la funzione per $x -> +infty$, quindi $e^-(x) -> 0$ e il coseno sommato a $1$ è nullo negli intorni di $\pi + 2 k \pi$...

[j18eos]

"dissonance":[quote="j18eos"]Finché si richiede che lo spazio topologico sia N1 (ogni punto abbia un sistema fondamentale d'intorni numerabile) non vedo grossi problemi, senza tale ipotesi ci sono eccome.

In quel caso non si parlerà più di "successioni" ma di "nets" ( e così ho trovato l'occasione di fare lo splendido con la terminologia appena imparata! ).[/quote]

Ignoro cosa siano le nets o reti

[mgiaff]

Comunque, qualcuno sa trovare una dimostrazione credibile sul perché quel limite tende a $+infty$ negli intorni dei multipli di $\pi$?? (non vale de l'Hopital, le derivate non sono nel mio programma di analisi 1)

EDIT: tra parentesi con de l'Hopital applicato 2 volte mi viene che tende a $0$

[ViciousGoblin]

"mgiaff":Comunque, qualcuno sa trovare una dimostrazione credibile sul perché quel limite tende a $+infty$ negli intorni dei multipli di $\pi$?? (non vale de l'Hopital, le derivate non sono nel mio programma di analisi 1)

EDIT: tra parentesi con de l'Hopital applicato 2 volte mi viene che tende a $0$

perché se $x\to\pi+2k\pi$ si ha $e^{-x}\to e^{-\pi-2k\pi}>0$ e $1+cos(x)\to 0^+$. Dunque il rapporto tende a $+\infty$. Chiaramente de l'Hospital non si può applicare dato che non si tratta
di una forma indeterminata.