Classe di una funzione di due variabili in un dato insieme
Ho la seguente funzione $f=x-y+xy$
Ora visto che dalla derivata seconda in poi le derivate cominciano ad essere costantemente nulle in $R^2$ (dominio della funzione) , esse saranno anche continue nell'insieme e quindi posso affermare che la funzione è di Classe $C^oo $
Come faccio a capire qual è la Classe di questa stessa funzione in un compatto di estremi i punti $A(2,0). B(0,2), C(0,-2)$?
Mi basta vedere se le derivate sono continue in questi tre punti?
Ora visto che dalla derivata seconda in poi le derivate cominciano ad essere costantemente nulle in $R^2$ (dominio della funzione) , esse saranno anche continue nell'insieme e quindi posso affermare che la funzione è di Classe $C^oo $
Come faccio a capire qual è la Classe di questa stessa funzione in un compatto di estremi i punti $A(2,0). B(0,2), C(0,-2)$?
Mi basta vedere se le derivate sono continue in questi tre punti?
Risposte
Ciao pepp1995,
Se non ricordo male se $A$ non è un aperto, si può dire che $f \in C^k (A) $ se e solo se esiste una aperto $\Omega sup A $ tale che $f \in C^k (\Omega) $: nel tuo caso puoi assumere $\Omega = \RR^2 $
Se non ricordo male se $A$ non è un aperto, si può dire che $f \in C^k (A) $ se e solo se esiste una aperto $\Omega sup A $ tale che $f \in C^k (\Omega) $: nel tuo caso puoi assumere $\Omega = \RR^2 $
La definizione di Classe fornitami a lezione non distingue tra insiemi non Aperti ed Aperti .
Ad ogni modo sono arrivato alla conclusione che in quel compatto la funzione è di Classe $C^0$ . Perché?
In teoria dovrei verificare che 1.la f sia derivabile parzialmente nei punti dell'insieme (e per def. utilizzare i due limiti dei rapporti incrementali rappresentativi delle due derivate parziali)
2. queste derivate siano continue in quei punti.
Visto che in realtà dovrei riuscire a riconoscere la Classe di una funzione "ad occhio" ho preferito focalizzarmi sul 2.
Nello specifico visto che i punti A, B , C sono di Accumulazione per il dominio(il piano) , ho con un processo al limite ho notato che la derivata parziale prima rispetto ad x in B vale 3.
Ora rappresentato graficamente quel compatto ho che lungo l'asse delle ordinate , i punti posso assumere valori compresi tra -2 e 2 . Per questo motivo 3 non è un valore ammissibile e dunque $C^0$
Sbaglio?
Ad ogni modo sono arrivato alla conclusione che in quel compatto la funzione è di Classe $C^0$ . Perché?
In teoria dovrei verificare che 1.la f sia derivabile parzialmente nei punti dell'insieme (e per def. utilizzare i due limiti dei rapporti incrementali rappresentativi delle due derivate parziali)
2. queste derivate siano continue in quei punti.
Visto che in realtà dovrei riuscire a riconoscere la Classe di una funzione "ad occhio" ho preferito focalizzarmi sul 2.
Nello specifico visto che i punti A, B , C sono di Accumulazione per il dominio(il piano) , ho con un processo al limite ho notato che la derivata parziale prima rispetto ad x in B vale 3.
Ora rappresentato graficamente quel compatto ho che lungo l'asse delle ordinate , i punti posso assumere valori compresi tra -2 e 2 . Per questo motivo 3 non è un valore ammissibile e dunque $C^0$
Sbaglio?
Il calcolo differenziale si fa sugli aperti. Le "classi \(C^k\)" (con \(k\ge 1\) ) si definiscono sugli aperti, le questioni sulla prolungabilità delle derivate sul bordo possono essere molto sottili e sicuramente non è il caso di un corso di analisi 2.
Rettifico: si tratta di Aperti (nella def è sottinteso).
Il ragionamento fatto per affermare che è di Classe $C^0$ è corretto?
Se no, perché? e come si dovrebbe procedere?
Aggiorno : tuttavia se fosse di Classe $C^0$ non potrei far valere la condizione sufficiente per la ricerca di massimi e minimi (in quanto vale solo per funzioni di Classe $C^2$ . Quindi è in realtà di Classe $C^2$ in quel triangolo???
Il ragionamento fatto per affermare che è di Classe $C^0$ è corretto?
Se no, perché? e come si dovrebbe procedere?
Aggiorno : tuttavia se fosse di Classe $C^0$ non potrei far valere la condizione sufficiente per la ricerca di massimi e minimi (in quanto vale solo per funzioni di Classe $C^2$ . Quindi è in realtà di Classe $C^2$ in quel triangolo???
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