Classe di una Funzione (2 var.)
Sto affrontando un corso di analisi 2.zip, dato che una buona parte di questo esame è stata accorpata all'esame di geometria. Non avendo quindi un libro di riferimento, sto trovando non poche difficoltà, e questo forum mi stà dando una grandissima mano.
Il mio dubbio adesso è sulle classi delle funzioni; non sono riuscito a trovare nelle dispense forniteci dal professore una definizione soddisfacente, o quantomeno utile; Se mi è data una funzione di due variabili, come posso individuare velocemente la sua classe?
ringrazio anticipatamente chiunque voglia rispondere.
Il mio dubbio adesso è sulle classi delle funzioni; non sono riuscito a trovare nelle dispense forniteci dal professore una definizione soddisfacente, o quantomeno utile; Se mi è data una funzione di due variabili, come posso individuare velocemente la sua classe?
ringrazio anticipatamente chiunque voglia rispondere.
Risposte
Intendi classe $C^1,C^2,...C^k$? 
Si la classe di derivabilità
Non ho inquadrato bene il tuo problema. Quanto alla definizione, è molto semplice: diciamo che $f:X\subseteq RR^n \to RR$ è di classe $\mathcal{C}^k$ se $f$ è derivabile $k$ volte in $X$ ed ha derivate continue in $X$ (con $f\in\ \mathcal{C}^0(X)$ s'intende invece la continuità di $f$ in $X$). Per avere più dettagli ti consiglio di cercare in rete qualche dispensa/quaderno didattico.
Come capire qual'è il grado di regolarità di $f$? Stessa cosa che facevi per le funzioni di una variabile...se fai qualche richiesta più precisa cerchiamo di approfondire insieme (entro i miei limiti
).
Come capire qual'è il grado di regolarità di $f$? Stessa cosa che facevi per le funzioni di una variabile...se fai qualche richiesta più precisa cerchiamo di approfondire insieme (entro i miei limiti
).
Intendo se ho una qualsiasi funzione, mettiamo $f(x,y)=xy+x^2$ per capire quante volte è derivabile come faccio? cioè ci sarà un numero di volte in cui è derivabile rispetto ad x ed un numero di volte nel quale è derivabile rispetto ad y, e poi devo anche vedere le derivate seconde miste.
Oppure se ho $f(x,y,z)=x^4+2x^2y^2+y^4+z^2-xy$ stessa cosa, cioè posso derivare rispetto ad x un tot di volte, rispetto ad y, z ecc. un tot di volte. C'è un modo, che non sia farmi tutti i calcoli per capire quante volte è derivabile?
Oppure se ho $f(x,y,z)=x^4+2x^2y^2+y^4+z^2-xy$ stessa cosa, cioè posso derivare rispetto ad x un tot di volte, rispetto ad y, z ecc. un tot di volte. C'è un modo, che non sia farmi tutti i calcoli per capire quante volte è derivabile?
Che calcoli vuoi fare? Vedi ad occhio che quella funzione, essendo ottenuta sommando e moltiplicando funzioni ovunque regolari (\(C^\infty\)), è ovunque regolare. Di solito per funzioni con una esplicita espressione analitica i punti di non regolarità vengono fuori dall'annullarsi di qualche denominatore oppure dalla presenza di funzioni con singolarità (radici quadrate, arcoseni, arcocoseni ... ).
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