Clasificazione punti critici
Salve, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio? In particolare il caso in cui il determinante è nullo.
Classificare i punti critici della funzione $ f(x;y)= (x+y)^2 -4(x^4 +y^4 +4) $
Ho calcolato le derivate parziali imponendo il sistema uguale a zero ho trovato le soluzione che sono ( $ +- $ 1/2; $ +- $ 1/2) e (0;0), nel primo caso trovo massimi, ma nel caso del punto (0;0) il determinante è nullo, ed è qui che trovo difficoltà, qualcuno potrebbe darmi un ragionamento/metodo il più generale possibile ? Ho provato ad utilizzare il metodo del segno(che mi assicura in ogni caso una risposta) trovando
$ F(x;y)- F(0;0)= (x+y)^2 -4(x^4 +y^4 +4)+16>0 $
Ora però non so come andare avanti.
Grazie in anticipo
Classificare i punti critici della funzione $ f(x;y)= (x+y)^2 -4(x^4 +y^4 +4) $
Ho calcolato le derivate parziali imponendo il sistema uguale a zero ho trovato le soluzione che sono ( $ +- $ 1/2; $ +- $ 1/2) e (0;0), nel primo caso trovo massimi, ma nel caso del punto (0;0) il determinante è nullo, ed è qui che trovo difficoltà, qualcuno potrebbe darmi un ragionamento/metodo il più generale possibile ? Ho provato ad utilizzare il metodo del segno(che mi assicura in ogni caso una risposta) trovando
$ F(x;y)- F(0;0)= (x+y)^2 -4(x^4 +y^4 +4)+16>0 $
Ora però non so come andare avanti.
Grazie in anticipo
Risposte
La difficolta' tipicamente arriva proprio a questo punto: devi capire se quella disequazione e' verificata o no in un intorno di $(0,0)$.
''Algebricamente'' come potrei fare a verificarlo ? In genere mi trovo sempre un valore che è sempre positivo e quindi posso ridurre lo studio ad un solo ''elemento'' più facile da gestire, ma in questo caso ?
Ciao, il punto (0,0) è un punto di sella. Sei nel caso "dubbio" della classificazione delle matrici Hessiane, puoi procedere in via grafica, oppure analiticamente puoi studiare la funzione nell'intorno (0,0) come diceva Luca.Lussardi, ovvero, ti sostituisci i valori e il segno che ottieni è negativo perchè:
F(0,0) = -16 e quindi è un punto di sella
Anche negli altri due casi i segni che ottieni sono negativi ma i punti sono di massimo perchè il determinante è maggiore di zero, per la proprietà dei Minori Principali vige la regola dell'alternanza di segno e le matrici nei punti ( ± 1/2; ± 1/2) sono definite negative.
Ciao
F(0,0) = -16 e quindi è un punto di sella
Anche negli altri due casi i segni che ottieni sono negativi ma i punti sono di massimo perchè il determinante è maggiore di zero, per la proprietà dei Minori Principali vige la regola dell'alternanza di segno e le matrici nei punti ( ± 1/2; ± 1/2) sono definite negative.
Ciao
Cioè hai sostituito ( 0;0 ) nella funzione di partenza e a seconda del suo segno ha detto se era massimo, minimo o sella ?
Si, è uno dei metodi algebrici che puoi utilizzare. A prescindere dalla sostituzione fatta nella funzione di partenza puoi utilizzare la condizione di secondo ordine per definire la matrice Hessiana, ovvero:
-Se gli LPM (ovvero i minori principali guida) in questo caso due, perchè le variabili sono due sono tutti $>0$ allora il punto è di minimo;(la matrice è definita positiva)
-Se gli LPM sono alternati di segno e il segno del determinante della matrice è concorde con $(-1)^k$ con k numero delle variabili(o numero delle righe, colonne, fa lo stesso)allora il punto è di massimo; (la matrice è definita negativa)
-In tutti gli altri casi, ovvero quando abbiamo delle "deviazioni" rispetto i casi di massimo e minimo, il punto è di sella (la matrice è indefinita)
Nel tuo caso:
H= $ ( ( 2-48x^2,2) , (2,2-48y^2) ) $
H(0,0)= $ ( ( 2,2) , (2,2) ) $
I minori principali guida sono il determinante della matrice e l'elemento in alto a sinistra (che ottieni eliminando le ennesime ultime righe ed ennesime ultime colonne)
$DET(H)= 4-4=0
|A1|= 2 > 0 $
Abbiamo deviazioni rispetto i casi sopra scritti. Ti ricordo che a parte tutto il procedimento algebrico + sostituzione dei punti nella funzione iniziale puoi procedere in via grafica.
Ciao
-Se gli LPM (ovvero i minori principali guida) in questo caso due, perchè le variabili sono due sono tutti $>0$ allora il punto è di minimo;(la matrice è definita positiva)
-Se gli LPM sono alternati di segno e il segno del determinante della matrice è concorde con $(-1)^k$ con k numero delle variabili(o numero delle righe, colonne, fa lo stesso)allora il punto è di massimo; (la matrice è definita negativa)
-In tutti gli altri casi, ovvero quando abbiamo delle "deviazioni" rispetto i casi di massimo e minimo, il punto è di sella (la matrice è indefinita)
Nel tuo caso:
H= $ ( ( 2-48x^2,2) , (2,2-48y^2) ) $
H(0,0)= $ ( ( 2,2) , (2,2) ) $
I minori principali guida sono il determinante della matrice e l'elemento in alto a sinistra (che ottieni eliminando le ennesime ultime righe ed ennesime ultime colonne)
$DET(H)= 4-4=0
|A1|= 2 > 0 $
Abbiamo deviazioni rispetto i casi sopra scritti. Ti ricordo che a parte tutto il procedimento algebrico + sostituzione dei punti nella funzione iniziale puoi procedere in via grafica.
Ciao
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