Circutazione di un campo vettoriale attorno ad una curva
Salve, dovendo preparare l'esame di Analisi 2 sto cercando di approcciarmi alle tipologie di esercizi della prova scritta, ed in particolare ho di dubbi relativi alla seguente richiesta:
Considerata la curva $ gamma (t)=(t*sin(t), 1+cos(t)) $, orientata nel verso delle t crescenti, calcolare la circuitazione del campo vettoriale $ F(x,y)=(x,y) $ attorno a $ gamma $.
Ho provato a risolvere l'esercizio calcolando:
$ int_(partial Sigma)F*T=int_(0)^(2\pi ) ||gamma'(t)|| *((x'(t))/(x'(t)^(2)+y'(t)^(2))^(1/2), (y'(t))/(x'(t)^(2)+y'(t)^(2))^(1/2)) $
Potreste dirmi se quanto fatto è corretto?
Considerata la curva $ gamma (t)=(t*sin(t), 1+cos(t)) $, orientata nel verso delle t crescenti, calcolare la circuitazione del campo vettoriale $ F(x,y)=(x,y) $ attorno a $ gamma $.
Ho provato a risolvere l'esercizio calcolando:
$ int_(partial Sigma)F*T=int_(0)^(2\pi ) ||gamma'(t)|| *((x'(t))/(x'(t)^(2)+y'(t)^(2))^(1/2), (y'(t))/(x'(t)^(2)+y'(t)^(2))^(1/2)) $
Potreste dirmi se quanto fatto è corretto?
Risposte
No, devi fare semplicemente
\[
\int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt
\]
che in questo caso è \( \frac{1}{4} \left(t^2-\left(t^2-1\right) \cos (2 t)+4 \cos (t)+1\right)\Big|_0^{2\pi}=0\);
Tu hai calcolato \( \int_0^{2\pi} F(\gamma'(t)/|\gamma'(t)|)|\gamma'(t)|dt\) (tra l'altro dimenticando il dt: anatema!) che non vuol dire nulla (o alla meglio, è un'altra cosa).
\[
\int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt
\]
che in questo caso è \( \frac{1}{4} \left(t^2-\left(t^2-1\right) \cos (2 t)+4 \cos (t)+1\right)\Big|_0^{2\pi}=0\);
Tu hai calcolato \( \int_0^{2\pi} F(\gamma'(t)/|\gamma'(t)|)|\gamma'(t)|dt\) (tra l'altro dimenticando il dt: anatema!) che non vuol dire nulla (o alla meglio, è un'altra cosa).
"killing_buddha":
No, devi fare semplicemente
\[ \int_0^{2\pi} F(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)dt \]
che in questo caso è \( \frac{1}{4} \left(t^2-\left(t^2-1\right) \cos (2 t)+4 \cos (t)+1\right)\Big|_0^{2\pi}=0 \);
Tu hai calcolato \( \int_0^{2\pi} F(\gamma'(t)/|\gamma'(t)|)|\gamma'(t)|dt \) (tra l'altro dimenticando il dt: anatema!) che non vuol dire nulla (o alla meglio, è un'altra cosa).
Ho consultato in modo più accurato gli appunti, e da quanto ho capito ho provato a calcolare il flusso in $ R^3 $ quando dovevo limitarmi ad $ R^2 $, grazie mille!
"TeM":
Oltre a quanto scritto da killing_buddha, ossia all'applicazione della definizione (in maniera corretta), dovresti conoscere un bel teorema che in casi come questo evita di sporcarsi le mani nel calcolo di tediosi integrali.
Ti riferisci per caso al teorema di Stokes (o almeno una delle sue applicazioni) secondo cui:
$ int int_(D)((partial F_1)/(partial x) + (partialF_2)/(partialy)) dxdy= int_(partialD) F_1 dx + int_(partial D)F_2 dy $
P.S. Mi scuso in anticipo per eventuali errori di confusione.
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