Circuitazionedi un campo vettoriale lungo una curva
L'esercizio chiede di calcolare la circuitazione del campo
$ v = (1/x - y/(sqrt(1+x*y))) i + (1/y - x/((sqrt(1+x*y)))) j
lungo la curva $\Gamma$ di punto $ p(t) = (t,8/t) $ con t $in [1,8]$ nel verso delle t crescenti.
La circuitazione lungo la curva si calcola in questo modo:
$\int int v * (p(t)) ^^ p'(t) dt$
- sostituisco a x e a y i valori del punto p e poi è corretto fare questo prodotto scalare con la derivata del punto p oppure basta moltiplicare e quindi svolgere l'integrale?
$ v = (1/x - y/(sqrt(1+x*y))) i + (1/y - x/((sqrt(1+x*y)))) j
lungo la curva $\Gamma$ di punto $ p(t) = (t,8/t) $ con t $in [1,8]$ nel verso delle t crescenti.
La circuitazione lungo la curva si calcola in questo modo:
$\int int v * (p(t)) ^^ p'(t) dt$
- sostituisco a x e a y i valori del punto p e poi è corretto fare questo prodotto scalare con la derivata del punto p oppure basta moltiplicare e quindi svolgere l'integrale?
Risposte
non ti stai confondendo con il flusso del campo?
No no è giusto così.
Comunque non puoi dire "la curva di punto (x,y)", sono due cose diverse. Quello da te enunciato è la rappresentazione parametrica della curva. Sostituisci $t$ a $x$ e $8/t$ a $y$, e, se i e j sono i differenziali $dx$ e $dy$ sostituisci le derivate prime della $x$ e della $y$ a loro.
Dopodichè calcoli l'integrale di tutto questo ambaradan esteso da 1 a 8.
Comunque non puoi dire "la curva di punto (x,y)", sono due cose diverse. Quello da te enunciato è la rappresentazione parametrica della curva. Sostituisci $t$ a $x$ e $8/t$ a $y$, e, se i e j sono i differenziali $dx$ e $dy$ sostituisci le derivate prime della $x$ e della $y$ a loro.
Dopodichè calcoli l'integrale di tutto questo ambaradan esteso da 1 a 8.
"pater46":
No no è giusto così.
Comunque non puoi dire "la curva di punto (x,y)", sono due cose diverse. Quello da te enunciato è la rappresentazione parametrica della curva. Sostituisci $t$ a $x$ e $8/t$ a $y$, e, se i e j sono i differenziali $dx$ e $dy$ sostituisci le derivate prime della $x$ e della $y$ a loro.
Dopodichè calcoli l'integrale di tutto questo ambaradan esteso da 1 a 8.
Quindi
$\int_{1}^{8} (1/t - 8/(3t)) + (t/8 - t/3) dt
poi non so vedere come dici tu se "i" e "j" sono i differenziali di dx e dy q quindi conseguentemente sostituirne le derivate prima.
ma in quell' integrale mi pare che tu abbia sosituito solo la parametrizzazione.. devi anche fare il prodotto scalare con $p'(t)$
Mmm.. la mia esperienza "fisica" sulle forme differenziali ancora deve cominciare 
Per quanto riguarda l'analisi matematica, una forma viene espressa nella forma
$ \omega = X_1 dx_1 + X_2 dx_2 + ... + X_n dx_n$
Ora, dato che la tua curva è semplice, non c'è neanche il bisogno di verificare l'esattezza per provare altri cammini, puoi integrare tranquillamente lungo quella curva. Comunemente siamo in due dimensioni e quindi si hanno solo due differenziali, $dx_1$ e $dx_2$, e per integrare si sostituiscono i parametri alle variabili, e le derivate prime delle rappresentazioni parametriche a $dx = dx_1$ e $dy = dx_2$.
Ora non so da dove ti esce fuori tale forma, questo è tutto quello che so dirti di "pratico" sulle forme.
Per quanto riguarda l'analisi matematica, una forma viene espressa nella forma
$ \omega = X_1 dx_1 + X_2 dx_2 + ... + X_n dx_n$
Ora, dato che la tua curva è semplice, non c'è neanche il bisogno di verificare l'esattezza per provare altri cammini, puoi integrare tranquillamente lungo quella curva. Comunemente siamo in due dimensioni e quindi si hanno solo due differenziali, $dx_1$ e $dx_2$, e per integrare si sostituiscono i parametri alle variabili, e le derivate prime delle rappresentazioni parametriche a $dx = dx_1$ e $dy = dx_2$.
Ora non so da dove ti esce fuori tale forma, questo è tutto quello che so dirti di "pratico" sulle forme.
gli viene fuori perchè ha solo sostituito $p(t)$ nella forma differenziale..
Ho controllato la formula per la circuitazione e vale come abbiamo detto:
$\int v*(p*(t)) p'(t) dt
il risultato di questa circuitazione è $ 61/3 * ln(8)
io non so continuare dopo aver sostituito a x e a y i valori $ x=t ; y=8/t$ poi non so cosa fare con la derivate del punto che vale $ x = 1 ; y = - 8/t^2$
$\int v*(p*(t)) p'(t) dt
il risultato di questa circuitazione è $ 61/3 * ln(8)
io non so continuare dopo aver sostituito a x e a y i valori $ x=t ; y=8/t$ poi non so cosa fare con la derivate del punto che vale $ x = 1 ; y = - 8/t^2$
"attila0906":
Ho controllato la formula per la circuitazione e vale come abbiamo detto:
$\int v*(p*(t)) p'(t) dt
il risultato di questa circuitazione è $ 61/3 * ln(8)
io non so continuare dopo aver sostituito a x e a y i valori $ x=t ; y=8/t$ poi non so cosa fare con la derivate del punto che vale $ x = 1 ; y = - 8/t^2$
eh no, della formula che avevi scritto all' inizio, mi era sfuggito che avevi moltiplicato V per P(t). questo mi lascia ancora più perplesso, perchè vuol dire che non hai capito i consigli di pater.
La formula corretta è: $\int_{1}^{8} v(p(t))^^p'(t)dt$
Cioè, sostituisci la parametrizzazione $p(t)$ in $v$, e poi ne fai il prodotto scalare con la derivata della parametrizzazione $p'(t)$.
"attila0906":
L'esercizio chiede di calcolare la circuitazione del campo
$ v = (1/x - y/(sqrt(1+x*y))) i + (1/y - x/((sqrt(1+x*y)))) j
lungo la curva $\Gamma$ di punto $ p(t) = (t,8/t) $ con t $in [1,8]$ nel verso delle t crescenti.
La circuitazione lungo la curva si calcola in questo modo:
$\int int v * (p(t)) ^^ p'(t) dt$
- sostituisco a x e a y i valori del punto p e poi è corretto fare questo prodotto scalare con la derivata del punto p oppure basta moltiplicare e quindi svolgere l'integrale?
ti spiego cosa mi ha portato fuori strada: in primo luogo la circuitazione non è un integrale doppio, perchè integri rispetto a una sola variabile. in secondo luogo io uso quel simbolo per il prodotto vettoriale, invece mi pare che voi indicate il prodotto scalare.. pure il puntino della moltiplicazione mi lascia un po' perplesso..
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