Circuitazione intorno a punti di discontinuità
Ciao a tutti! Son perplesso. So, o credo di sapere, che affinché un campo sia definibile "conservativo" esso deve essere irrotazionale e semplicemente connesso. Ora, ammettendo parziale ignoranza, so solo il significato grossolano di quest'ultima condizione e cioè il fatto che nel dominio non vi siano "buchi". Cercare le definizioni più rigorose non mi ha aiutato troppo ed infatti continuo ad avere dubbi: i PUNTI di discontinuità in R2 son trascurabili o son da considerarsi buchi attorno ai quali circuitare può non dare 0 come risultato? I mean.. avendo un campo conservativo F: R2/P→R2 circuitare attorno (ma naturalmente non attraverso) P può dare problemi o il risultato sarà zero? Mi scuso per non aver posto la domanda in modo chiaro ma forse i miei stessi dubbi non mi son chiari, grazie a chi proverà a tradurre i miei pensieri!
Risposte
La domanda è scritta male, comunque la risposta è si: se un campo vettoriale non è regolare in alcuni punti, essi contano come "buchi" del dominio. Per togliersi i dubbi basta farsi degli esempi. Che ne dici di
\[
\vec{X}=\hat{e}_r\ ?\]
\[
\vec{X}=\hat{e}_r\ ?\]
Sì, credo di aver già chiesto scusa per la formulazione della domanda 
Comunque sia, grazie, era proprio la risposta che mi aspettavo.. ma...
$F(x,y)= ( x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2))$
questo campo è evidentemente definito in R a meno di (0,0).
Circuitando su $ l : [0,2\pi] \rightarrow R2 $ con $ l(t)=(cost,sint)$ dovrei avere problemi, no? Invece il mio libro afferma il contrario e cioè che $\int_{ l } F\, dP =0$
Cosa mi son perso?
Comunque sia, grazie, era proprio la risposta che mi aspettavo.. ma...
$F(x,y)= ( x/sqrt(x^2+y^2),y/sqrt(x^2+y^2))$
questo campo è evidentemente definito in R a meno di (0,0).
Circuitando su $ l : [0,2\pi] \rightarrow R2 $ con $ l(t)=(cost,sint)$ dovrei avere problemi, no? Invece il mio libro afferma il contrario e cioè che $\int_{ l } F\, dP =0$
Cosa mi son perso?
Non è che per forza avrai problemi. Potresti averli, potresti non averli.
Nello specifico, stiamo facendo lo stesso esempio (\(\hat{e}_r\) indica il versore radiale, che in coordinate cartesiane è esattamente il vettore che hai scritto tu). In questo caso effettivamente la circuitazione fa zero (e io non me ne ero accorto nel mio messaggio precedente, che quindi è fuorviante - pardon). Il motivo è che \(\hat{e}_r\) è sempre ortogonale alla circonferenza su cui viene integrato. E infatti si tratta di un campo conservativo in \(\mathbb{R}^2\): una sua primitiva è la funzione \(\sqrt{x^2+y^2}\).
Ma puoi facilmente costruire esempi di campi vettoriali con una singolarità nell'origine, irrotazionali in \(\mathbb{R}^2\setminus \{0\}\), e non conservativi. Prova con
\[
{y\over \sqrt{x^2+y^2}} \hat{e}_x -{x\over \sqrt{x^2+y^2}}\hat{e}_y.\]
Nello specifico, stiamo facendo lo stesso esempio (\(\hat{e}_r\) indica il versore radiale, che in coordinate cartesiane è esattamente il vettore che hai scritto tu). In questo caso effettivamente la circuitazione fa zero (e io non me ne ero accorto nel mio messaggio precedente, che quindi è fuorviante - pardon). Il motivo è che \(\hat{e}_r\) è sempre ortogonale alla circonferenza su cui viene integrato. E infatti si tratta di un campo conservativo in \(\mathbb{R}^2\): una sua primitiva è la funzione \(\sqrt{x^2+y^2}\).
Ma puoi facilmente costruire esempi di campi vettoriali con una singolarità nell'origine, irrotazionali in \(\mathbb{R}^2\setminus \{0\}\), e non conservativi. Prova con
\[
{y\over \sqrt{x^2+y^2}} \hat{e}_x -{x\over \sqrt{x^2+y^2}}\hat{e}_y.\]
Ok, ci sono quasi! Quindi in situazioni analoghe l'unico modo per stabilire se il campo è conservativo è cercare un potenziale? Nel campo proposto da te, appunto, non esiste primitiva rispetto a x per F1 (Wolfram Alpha conferma 
).
).
No non è l'"unico" modo. Anzi, è il modo più pesante computazionalmente. Puoi sempre calcolare una circuitazione attorno al punto singolare. Se si annulla allora il campo è conservativo. Altrimenti non è conservativo. La dimostrazione di questo fatto è semplice: tutte le circuitazioni che non avvolgono la singolarità si annullano, per il teorema di Stokes (qui usi l'irrotazionalità una prima volta). D'altra parte, sempre per il teorema di Stokes, tutte le circuitazioni attorno alla singolarità danno lo stesso valore. E quindi basta che se ne annulli una affinché si annullino tutte. In quest'ultima eventualità, tutte le circuitazioni si annullano, il che è equivalente a dire che il campo è conservativo.
Grazie mille dissonance! Domani davanti al mio esame penserò anche a te 
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