Circuitazione e chiarimenti su Stokes
"Calcolare la circuitazione $ int_(gamma) ds $ , dove $ vec(F)(x,y,z)=(y,-x,z^2) $ e $ gamma $ è il bordo della superficie $ Sigma ={(x,y,z)inR^3:x^2+y^2<=4,z=y^2} $ , orientato in modo che la percorrenza sia vista in senso antiorario dall'alto dell'asse z. Confermare il risultato ottenuto usando la formula di Stokes."
Se ho capito correttamente, la superficie a cui ci si riferisce è l'intersezione tra il cilindro di raggio 2 centrato nell'origine che si estende infinitamente lungo l'asse z e la parabola che si troverebbe sul piano yz e che si estende infinitamente lungo l'asse x.
Come parametrizzo la superficie e il suo bordo?
Inoltre, il teorema di Stokes mi dice che la circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva chiusa è uguale al flusso del rotore del campo attraverso una qualsiasi superficie "poggiata" al di sopra di tale curva. Di conseguenza, il pezzo di superficie interno alla curva va considerato nel calcolo del flusso oppure no?
Cerco di spiegarmi con un esempio: come curva chiusa considero una circonferenza posta sul piano xy, e come superficie una semisfera poggiata su di lei: il CERCHIO (punti interni alla circonferenza) va considerato nel calcolo del flusso?
Se ho capito correttamente, la superficie a cui ci si riferisce è l'intersezione tra il cilindro di raggio 2 centrato nell'origine che si estende infinitamente lungo l'asse z e la parabola che si troverebbe sul piano yz e che si estende infinitamente lungo l'asse x.
Come parametrizzo la superficie e il suo bordo?
Inoltre, il teorema di Stokes mi dice che la circuitazione di un campo vettoriale lungo una curva chiusa è uguale al flusso del rotore del campo attraverso una qualsiasi superficie "poggiata" al di sopra di tale curva. Di conseguenza, il pezzo di superficie interno alla curva va considerato nel calcolo del flusso oppure no?
Cerco di spiegarmi con un esempio: come curva chiusa considero una circonferenza posta sul piano xy, e come superficie una semisfera poggiata su di lei: il CERCHIO (punti interni alla circonferenza) va considerato nel calcolo del flusso?
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