Circuitazione di un campo
Salve, dovrei Calcolare la Circuitazione di un CAMPO : $F=(-y,x^2)$ lungo un PARALLELOGRAMMA di vertici: (0,0),(2,0),(3,1),(1,1) , percorso in verso ANTI-orario.
$r_1(x)=(x,0), x in [0,2]$
$r_2(x)=(x,x-2), x in [2,3]$
a) $r_3(x)=(3-x,1),x in[0,2]$
$r_4(x)=(1-x,1-x), x in[0,1]$
Non riesco a capire come si arriva a scrivere quella $r_3$ ed $r_4$.
Personalmente,nel caso della $r_3$ ,
- avevo pensato inizialmente alla seguente parametrizzazione "intuitiva" di quel segmento:
$r_3(x)= (x,1) , x in[1,3]$ , che però NON RISPETTA "il verso di percorrenza"
- allora ho pensato di riscriverla
b) semplicemente invertendo gli estremi dell' Intervallo di variabilità del PARAMETRO
$r_3(x)=(x,1), x in [3,1]$
o comunque
c) scrivendo la PARAMETRIZZAZIONE del SEGMENTO considerando "il giusto punto iniziale " ed "il giusto punto finale" cioè scrivendo:
$r_3: { ( x(t)=3+t(1-3 )),( y(t)=1 ):} t in[0,1] $
Vorrei sapere come si arriva alla a)
e se a)=b)=c) sono equivalenti
$r_1(x)=(x,0), x in [0,2]$
$r_2(x)=(x,x-2), x in [2,3]$
a) $r_3(x)=(3-x,1),x in[0,2]$
$r_4(x)=(1-x,1-x), x in[0,1]$
Non riesco a capire come si arriva a scrivere quella $r_3$ ed $r_4$.
Personalmente,nel caso della $r_3$ ,
- avevo pensato inizialmente alla seguente parametrizzazione "intuitiva" di quel segmento:
$r_3(x)= (x,1) , x in[1,3]$ , che però NON RISPETTA "il verso di percorrenza"
- allora ho pensato di riscriverla
b) semplicemente invertendo gli estremi dell' Intervallo di variabilità del PARAMETRO
$r_3(x)=(x,1), x in [3,1]$
o comunque
c) scrivendo la PARAMETRIZZAZIONE del SEGMENTO considerando "il giusto punto iniziale " ed "il giusto punto finale" cioè scrivendo:
$r_3: { ( x(t)=3+t(1-3 )),( y(t)=1 ):} t in[0,1] $
Vorrei sapere come si arriva alla a)
e se a)=b)=c) sono equivalenti
Risposte
In generale visto che la x è l'ascissa è sempre meglio scrivere le equazioni parametriche che descrivono la curva con un'altra variabile che non sia x (giusto per es. "t")
a) Per il segmento $gamma_3$ la parametrizzazione $(3-t, 1)$ con $t in[0,2] $ va bene e rispecchia per t crescenti il verso di percorrenza. Idem per $gamma_4$.
Come si arriva a quella scrittura diciamo che è una scelta arbitraria di descrizione del segmento. Per es. va altrettanto bene $(3-2t, 1)$ con $t in[0,1]$ che equivale alla c).
b) Non ha molto senso scrivere $x in[3,1] $. Scrivi $t in[1,3] $ usa la stessa parametrizzazione in "t" e metti un segno meno al contributo del segmento visto che lo percorri in senso opposto almeno per t crescenti.
c) vedi a).
a) Per il segmento $gamma_3$ la parametrizzazione $(3-t, 1)$ con $t in[0,2] $ va bene e rispecchia per t crescenti il verso di percorrenza. Idem per $gamma_4$.
Come si arriva a quella scrittura diciamo che è una scelta arbitraria di descrizione del segmento. Per es. va altrettanto bene $(3-2t, 1)$ con $t in[0,1]$ che equivale alla c).
b) Non ha molto senso scrivere $x in[3,1] $. Scrivi $t in[1,3] $ usa la stessa parametrizzazione in "t" e metti un segno meno al contributo del segmento visto che lo percorri in senso opposto almeno per t crescenti.
c) vedi a).
Premessa: grazie mille per la risposta 
Mi sono chiari i tuoi consigli e cioè sulla possibilità di
- utilizzare a) oppure c)
oppure ancora
-utilizzare la parametrizzazione standard col verso sbagliato e poi mettere un segno - davanti l'integrale
Ho un ultimo dubbio:
Da quel che ho capito , dovrebbe valere una "regola generale per invertire il verso di una parametrizzazione" tale per cui:
<< ci basta
1. riscrivere SOLO le componenti "che dipendono dal parametro t" del vettore $r(t)$ , che mi descrive punto per punto la curva, come:
2°estremo dell'Intervallo - quella componente
2. sostituire l'Intervallo di parametrizzazione con uno della forma:
[0, lunghezza del SEGMENTO]
>>
Ma non so quanto sia valida questa regola.
Mi sono chiari i tuoi consigli e cioè sulla possibilità di
- utilizzare a) oppure c)
oppure ancora
-utilizzare la parametrizzazione standard col verso sbagliato e poi mettere un segno - davanti l'integrale
Ho un ultimo dubbio:
"ingres":
Come si arriva a quella scrittura diciamo che è una scelta arbitraria di descrizione del segmento.
Da quel che ho capito , dovrebbe valere una "regola generale per invertire il verso di una parametrizzazione" tale per cui:
<< ci basta
1. riscrivere SOLO le componenti "che dipendono dal parametro t" del vettore $r(t)$ , che mi descrive punto per punto la curva, come:
2°estremo dell'Intervallo - quella componente
2. sostituire l'Intervallo di parametrizzazione con uno della forma:
[0, lunghezza del SEGMENTO]
>>
Ma non so quanto sia valida questa regola.
In realtà se vedi la curva da descrivere come una traiettoria di moto e le equazioni che la descrivono come la legge oraria puoi pensare a infinite leggi orarie che descrivono la stessa traiettoria. Se, ad esempio, devo descrivere il segmento che unisce (0,0) e (1,1) posso prendere banalmente $(t, t)$ con $t in [0,1]$ oppure, rimanendo nel campo delle funzioni lineari, va bene prendere anche $(kt, kt)$ con k>0 e $t in [0,1/k]$. In pratica cambia la "velocità" con la quale descrivi il segmento ma non il segmento stesso. Ovviamente la circuitazione non cambia al variare della scelta come puoi verificare facilmente.
Anche l'inversione la puoi fare a livello di traiettoria oppure invertendo gli estremi di integrazione oppure banalmente inserendo un segno negativo al risultato del tratto di circuitazione.
Ad es. se devo andare da (1,1) a (0,0) posso matenere la parametrizzazione precedente (con inversione degli estremi o cambio segno) oppure scrivere $(1-t, 1-t)$ con $t in [0,1]$ oppure $(-t, -t)$ con $t in [-1,0]$.
Anche l'inversione la puoi fare a livello di traiettoria oppure invertendo gli estremi di integrazione oppure banalmente inserendo un segno negativo al risultato del tratto di circuitazione.
Ad es. se devo andare da (1,1) a (0,0) posso matenere la parametrizzazione precedente (con inversione degli estremi o cambio segno) oppure scrivere $(1-t, 1-t)$ con $t in [0,1]$ oppure $(-t, -t)$ con $t in [-1,0]$.
@ CallistoBello: Ma perché CAMPO in tuttomaiuscolo?
Potresti modificare il titolo?
Grazie.
Potresti modificare il titolo?
Grazie.
Perché più forte gridi meno il CAMPO ruota, lo spaventi.
La battuta, il grande ridere, la simpatia, l'umorismo, la comicità odierna, la risata, l'ilarità, la burla, la celia, la beffa, la ludrica affermazione, lo spasso, il divertimento, l'arguta ironia, la conia, il dileggio, l'irrisione, la spiritosaggine, lo svago, la corbellatura, il giuoco, l'amenità, lo scherno, la facezia, il frizzo, la piacevolezza, la briosità, il motteggio, la beffardaggine, la sagacia, l'intrattenimento
Più semplicemente, in generale, il maiuscolo in Internet equivale a gridare
Palese caps lock attivo involontario.
Titolo prontamente modificato.
Non vedo tutto sto divertissement
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