Circa la prolugabilità x continuità d funzioni d 2 variabili

[playbasfa]

Ciao ragazzi! E' un pò di tempo che non posto.. adesso mi sono riavvicinato ad Analisi II e quindi eccomi qui..
Avrei un dubbio circa la continuità di funzioni di due variabili, nella fattispecie, mi si chiede:

Studiare la prolungabilità per continuità nei punti di frontiera di:
$ (|x|+y^2)/(x^2-y^2) $

Il dominio è ovviamente E= $ E={(x,y) in RR^2 :y != pm x } $ ovvero il piano privato delle due bisettrici.
Sono dunque questi i punti di accumulazione cui devo fare tendere $(x,y)$ nel limite?

Guardando la soluzione della mia prof lei la risolve così:
$ vv P(x0,y0) != (0,0) : y!=pm x $
$ lim_( -> )(|f(x,y)|)=+oo $

Perchè fa questa specificazione che il punto deve essere diverso da (0,0), perchè altrimenti sarebbe una forma indeterminata?
Poi se lo calcola in (x,0) e fa più infinito, allora può concludere che non è prolungabile per continuità.

Io mi chiedo:
1) perchè ha distinto i due limiti?
2) perchè lo fa in (x,0)? Ammesso che il punto (0,0) andasse trattato a parte, dovrebbe essere appunto tendente a (0,0) non a (x,0), no?

Mi date un pò di delucidazioni..
Forse mi manca qualche base..

Grazie in anticipo a tutti!!

[j18eos]

Ti posso rispondere rigorosamente alla 2 perché secondo me alla 1 ha usato il suo occhio clinico, nel senso che (0;0) è un caso particolare.

Ha calcolato il limite a (0;0) rispetto alla direzione dell'asse delle x ed ha constato che non converge in tale direzione si erge quindi la non prolungabilità! I limiti in più variabili si possono calcolare rispetto alle infinite direzioni del piano, tali limiti devono essere tutti uguali e finiti altrimenti il limite non è finito.

[enr87]

"j18eos":Ti posso rispondere rigorosamente alla 2 perché secondo me alla 1 ha usato il suo occhio clinico, nel senso che (0;0) è un caso particolare.

Ha calcolato il limite a (0;0) rispetto alla direzione dell'asse delle x.

è un po' ambiguo, spiego il perchè:
se vuoi prolungarla per coninuità, devi fare in modo che la funzione, nei punti in cui non esiste, assuma il valore del limite in quei punti (infatti sai che f(x) è continua se, per definizione, $lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $)

se $ (x, y) \to (x_0, x_0) $, cioè in prossimità delle bisettrici, allora f va a infinito. se prendi come punto di accumulazione (x,0) ricavi che il valore di f è 1/|x|, quindi non capisco cosa volesse farti notare (probabilmente hai preso male gli appunti..).
il caso di interesse ricade in (0, 0). a questo punto credo sia come dice j18eos: la tua prof non ha calcolato il limite per (x, y) -> (x, 0), bensì ha preso una restrizione del dominio, ossia y = 0 (l'asse x), e calcolato il $ \lim_{x \to 0} f(x, 0) $

[playbasfa]

Non sono appunti sono i suoi compiti risolti e pubblicati da lei stessa.
Dici bene, viene $1/|x|$ che fa infinito, ed è per questo che dice che non è prolungabile per continuità in alcun punto di di $FE$

[enr87]

verrebbe infinito se x tendesse a 0, ti riconduci allora al caso di f(x, 0) per x che tende a 0..