Ciao a tutti.
Ciao a tutti sono nuova del forum! Vorrei chiedervi se riuscite a scomporre questa questa somma. Io ci sto perdendo molto tempo nel cercare di risolverla, ma credetemi non ci riesco. Eppure sono convinta che è molto semplic. Aiutatemi vi prego 
(X+Y)^a con a un qualsiasi numero maggiore di uno.
(X+Y)^a con a un qualsiasi numero maggiore di uno.
Risposte
Può darsi che non abbia capito bene la domanda, ma a me $(x+y)^{a}$ sembra già scomposto... Forse volevi sapere come svolgere la potenza? Se così fosse, per $a \ge 0$, si può usare il binomio di Newton:
$(x+y)^{a}=\sum_{k=0}^{a}((a),(k))x^{k}y^{a-k}$
$(x+y)^{a}=\sum_{k=0}^{a}((a),(k))x^{k}y^{a-k}$
"Tipper":oppure il triangolo di tartaglia
Può darsi che non abbia capito bene la domanda, ma a me $(x+y)^{a}$ sembra già scomposto... Forse volevi sapere come svolgere la potenza? Se così fosse, per $a \ge 0$, si può usare il binomio di Newton:
$(x+y)^{a}=\sum_{k=0}^{a}((a),(k))x^{k}y^{a-k}$
Sì, ma col triangolo di Tartaglia non so se si può scrivere un'espressione in forma chiusa valida $\forall a \ge 1$, o meglio, l'espressione sarebbe uguale a quella del binomio di Newton.
Il trangolo di Tartaglia, alla fine, serve solo per calcolare in modo più veloce, senza passare attraverso i vari fattoriali, i coefficienti binomiali del tipo $((a),(k))$.
Il trangolo di Tartaglia, alla fine, serve solo per calcolare in modo più veloce, senza passare attraverso i vari fattoriali, i coefficienti binomiali del tipo $((a),(k))$.
"Tipper":certamente, intendevo questo!
Il trangolo di Tartaglia, alla fine, serve solo per calcolare in modo più veloce, senza passare attraverso i vari fattoriali, i coefficienti binomiali del tipo $((a),(k))$.
Ok 
Ragazzi
capisco che alla comparsa di un nuovo utente femminile che si presenta con un bel ‘ciao a tutti’ i maschietti del forum subito si fanno in quattro… Niente di male, ben inteso, se ciò si accompagnasse ad una corretta interpretazione della domanda da lei formulata…
Nella fattispecie lei ha chiesto una formula che dia $(X+Y)^a$ con $a$ un qualsiasi numero maggiore di uno… Ora per ‘qualsiasi numero’ è ovvio si deve intendere un qualsiasi numero reale e non già ‘qualsiasi numero intero’ ragion per cui la soluzione da voi fornita non è proprio quella richiesta…
Per venire incontro alla gentile nuova utente proviamo a partire dallo sviluppo seguente, conosciuto come ‘serie binomiale’…
$(1+t)^a= 1+t/(1!)+ (a*(a-1))/(2!)*t^2+… (a*(a-1)*…*(a-n+1))/(n !)*t^n+…=$
$=sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n)) *t^n/(n!)$ (1)
... ove... $((a),(n)) = (a*(a-1)*…*(a-n+1))/(n !)$ con $[a,0]=1$. Nel caso in cui $a$ non è intero oppure è un intero negativo la sommatoria (1) è estesa ad infiniti termini. Ponendo nella (1) $t=X/Y$ si ottiene senza troppo soffrire la formula richiesta…
$(X+Y)^a= X^a* (1+Y/X)^a= sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*X^a*(Y/X)^n=$
$=sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*X^(a-n)*Y^n$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
capisco che alla comparsa di un nuovo utente femminile che si presenta con un bel ‘ciao a tutti’ i maschietti del forum subito si fanno in quattro… Niente di male, ben inteso, se ciò si accompagnasse ad una corretta interpretazione della domanda da lei formulata…
Nella fattispecie lei ha chiesto una formula che dia $(X+Y)^a$ con $a$ un qualsiasi numero maggiore di uno… Ora per ‘qualsiasi numero’ è ovvio si deve intendere un qualsiasi numero reale e non già ‘qualsiasi numero intero’ ragion per cui la soluzione da voi fornita non è proprio quella richiesta…
Per venire incontro alla gentile nuova utente proviamo a partire dallo sviluppo seguente, conosciuto come ‘serie binomiale’…
$(1+t)^a= 1+t/(1!)+ (a*(a-1))/(2!)*t^2+… (a*(a-1)*…*(a-n+1))/(n !)*t^n+…=$
$=sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n)) *t^n/(n!)$ (1)
... ove... $((a),(n)) = (a*(a-1)*…*(a-n+1))/(n !)$ con $[a,0]=1$. Nel caso in cui $a$ non è intero oppure è un intero negativo la sommatoria (1) è estesa ad infiniti termini. Ponendo nella (1) $t=X/Y$ si ottiene senza troppo soffrire la formula richiesta…
$(X+Y)^a= X^a* (1+Y/X)^a= sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*X^a*(Y/X)^n=$
$=sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*X^(a-n)*Y^n$ (2)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
"lupo grigio":
...
Per venire incontro alla gentile nuova utente proviamo a partire dallo sviluppo seguente, conosciuto come ‘serie binomiale’…
$(1+t)^a= 1+t/(1!)+ (a*(a-1))/2 !*t^2+… (a*(a-1)*…*(a-n+1))/(n !)*t^n+…=$
Il terzo addendo penso che sia $\frac{a(a-1)}{2!}*t^2$
Esatto caro Tipper!... Si è trattato di un 'errore di editing' dovuto al fatto che non ho ancora piena dimistichezza con la notazione introdotta ormai da tempo 
...
Piuttosto [e questo è meno scusabile...] ho omesso un particolare essenziale, e cioè che la serie binomiale...
$(1+t)^a= 1+t/(1!)+ (a*(a-1))/(2!)*t^2+… (a*(a-1)*…*(a-n+1))/(n !)*t^n+…=$ (1)
... è convergente solo per $|t|<1$. Per questo motivo nel caso in cui è $|Y/X|<1$ la formula da me data va bene, nell'altro caso occorre scambiare la $X$ e la $Y$ fra loro. Più precisamente è...
$ (X+Y)^a= X^a* (1+Y/X)^a= sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*X^a*(Y/X)^n=$
$=sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*X^(a-n)*Y^n$ se $|Y/X|<1$ (3)
$(X+Y)^a= Y^a* (1+X/Y)^a= sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*Y^a*(X/Y)^n=$
$=sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*X^n*Y^(a-n)$ se $|Y/X|>1$ (4)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
... Piuttosto [e questo è meno scusabile...] ho omesso un particolare essenziale, e cioè che la serie binomiale...
$(1+t)^a= 1+t/(1!)+ (a*(a-1))/(2!)*t^2+… (a*(a-1)*…*(a-n+1))/(n !)*t^n+…=$ (1)
... è convergente solo per $|t|<1$. Per questo motivo nel caso in cui è $|Y/X|<1$ la formula da me data va bene, nell'altro caso occorre scambiare la $X$ e la $Y$ fra loro. Più precisamente è...
$ (X+Y)^a= X^a* (1+Y/X)^a= sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*X^a*(Y/X)^n=$
$=sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*X^(a-n)*Y^n$ se $|Y/X|<1$ (3)
$(X+Y)^a= Y^a* (1+X/Y)^a= sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*Y^a*(X/Y)^n=$
$=sum_(n=0)^(+oo) ((a),(n))*X^n*Y^(a-n)$ se $|Y/X|>1$ (4)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo