Ci sono due...

[dennysmathprof]

se abbiamo due funzioni [tex]f,g:[0,1]\rightarrow \mathbb R[/tex],continue, e

[tex]g \nearrow[/tex]. Se [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx=0[/tex]

esistono almeno due [tex]x_1,x_2\in(0,1) : f(x_1)=f(x_2)=0[/tex]

[Rigel1]

Immagino che la notazione \(g\nearrow\) significhi che \(g\) è strettamente monotona crescente in \([0,1]\).

Supponiamo per assurdo che \(f\) abbia meno di due zeri in \((0,1)\). Chiaramente ne deve avere almeno uno, altrimenti avrebbe segno costante in \((0,1)\) e dunque non si potrebbe avere \(\int_0^1 f = 0\).
Di conseguenza esiste \(x_1\in(0,1)\) tale che \(f < 0\) in \((0, x_1)\), \(f > 0\) in \((x_1, 1)\) (o viceversa; trattiamo solo questo caso visto che sono analoghi).
Poiché \(g\) è strettamente crescente, la funzione \(g_1(x) := g(x) - g(x_1)\) è anch'essa strettamente crescente e, inoltre,
\[
\int_0^1 f g_1 = \int_0^1 f g - g(x_1) \int_0^1 f = 0, \qquad
g_1 < 0\ \text{in}\ (0,x_1),\qquad
g_1 > 0\ \text{in}\ (x_1,1).
\]
Dunque
\[
0 = \int_0^1 f g_1 = \int_0^1 |f g_1|\,.
\]
Poiché la funzione \(|f g_1|\) è continua, questo implica \(f g_1 \equiv 0\), cioè \(f\equiv 0\), assurdo.

[dennysmathprof]

Grazie Rigel della soluzione .

Dennys