Ci risiamo! "Non esistenza" di un limite

[visind]

Allora ragazzi! Sempre su appunti del mio amico trovo:

$\nexists$ $\lim_{x \to \0}1/(x^n)$ con $n$ dispari

mentre

$\lim_{x \to \0}1/(x^n) = +prop$ con $n$ pari



Perchè tutto ciò? Come lo spiegate?

[nato_pigro1]

guardati l'enunciato sul teorema del limite dell'inversa. Nel primo caso non c'è un intorno bucato di $x_0$ debolmente positivo (o negativo).

[gygabyte017]

Oppure ragiona sulla seguente cosa:

1) Se $n$ è dispari, $x^n=-((-x)^n)\qquad AAx<0$
2) Se $n$ è pari, $x^n=(-x)^n\qquad AAx<0$

percui:

- Se $n$ è dispari, $lim_(x->0^+)1/(x^n)=+oo$ (*), ma $lim_(x->0^-)1/(x^n)=lim_(x->0^+)-1/(x^n)=-oo$ usando la (1). Quindi il limite non esiste.

- Se $n$ è pari, $lim_(x->0^+)1/(x^n)=+oo$ (*), e $lim_(x->0^-)1/(x^n)=lim_(x->0^+)1/(x^n)=+oo$ usando la (2). Quindi il limite esiste e fa $+oo$.


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(*) E' facile verificare che se $AAx>0,AAn inNN$, allora $1/x>0$, e vale quel limite.