Ci risiamo, altro cambio di variabile che non mi è chiaro

[Baldur1]

$lim_(x-> 2) ^(x-2)sqrt[x-1]$ (quell'x-2 sopra al simbolo limite, sarebbe l'indice della radice, ma non riesco a metterlo come indice!)

Si noti che:

$ ^(x-2)sqrt[x-1] = (x-1)^(1/(x-2)) = (1+x-2)^(1/(x-2)) $ intanto, all'ultimo passaggio, cosa ha fatto? Ha aggiunto +1 e -1?

Per cui, si può effettuare la sostituzione:

$y = 1 / (x-2)$

Ora, da qui, non riesco a trovarmi quanto vale la x!! Mi viene che $x = (1 + y) / (y)$ ma andandolo a sostituire alla x, nel limite, non mi viene come fa vedere il libro... dovrebbe venire, cioè $(1 + 1/y)^y$

[Brancaleone1]

$lim_(x->2) (x-1)^(1/(x-2))=(x-2+1)^(1/(x-2))$ qui ha aggiunto e tolto $1$ per permettere il successivo cambio di variabile:

$y=x-2$

e poiché bisogna imporre che

$lim_(x->2)(x-2)=lim_(y->y_0)y=0 => y_0=0$

il limite diventa

$=> lim_(y->0) (y+1)^(1/y)$

Operando ancora un cambio di variabile

$t=1/y$

e tenendo conto che per $y->0 => t->+oo$, si ottiene infine

$=> lim_(t->+oo) (1/t+1)^(t)=e$ $[text(limite notevole)]$

[Baldur1]

Ah, tu l'hai fatta in modo leggermente diverso, che però mi è più chiaro. Hai proceduto a cambiare due volte la variabile, mentre il libro lo ha fatto una sola volta.

una cosa, ma mettere uno e togliere uno, si può fare dove e quando?

Grazie per la disponibilità

[Brancaleone1]

Beh lo puoi fare in qualunque uguaglianza: se togli un'arancia da un cesto e ce ne rimetti un'altra il cesto mantiene lo stesso numero di arance, no?