Chiusure e immagini per una f continua
Questo esercizio è fatto da un primo quesito interessante e un esercizietto bonus:
1) Se [tex]f[/tex] è una funzione continua da uno spazio metrico [tex]X[/tex] in uno spazio metrico [tex]Y[/tex], si dimostri che [tex]f(\overline{E}) \subset \overline{f(E)}[/tex] per ogni sottoinsieme [tex]E \subset X[/tex].
2) Si dimostri con un esempio che [tex]f(\overline{E})[/tex] può essere un sottoinsieme proprio di [tex]\overline{f(E)}[/tex].
Riguardo al punto 1) la mia dimostrazione è forse un po' laboriosa, ma credo (e vi chiedo conferma) che sia corretta (altre proposte sono ben accette!):
Bisogna far vedere che [tex]\forall y \in f(\overline{E}), y \in \overline{f(E)}[/tex].
Sia [tex]x \in \overline{E}: y=f(x)[/tex]. Considero due casi:
I caso) [tex]x\in E, x \notin E'[/tex] (con [tex]E'[/tex] intendo l'insieme dei punti di accumulazione di [tex]E[/tex]). Allora [tex]y \in f(E) \Rightarrow y\in \overline{f(E)}[/tex].
II caso) [tex]x\in E', x\notin E[/tex], cioè [tex]\forall r>0, \exists p \in E, p \neq x[/tex] t.c. [tex]d_{X}(p,x)
II.a) Supponiamo che tra gli infiniti [tex]p_1 \in E, \ p_1 \ne x: d_{X}(p_1,x)<\delta_1[/tex], ne esista almeno uno, che chiamo [tex]p_{1}^{*}[/tex], tale che [tex]f(p_{1}^{*} \ne f(x) \forall x \in E', \forall \delta_{1}=\delta_{1}(\varepsilon_{1}, x)>0[/tex], cioè anche [tex]\forall \varepsilon_{1}>0[/tex];
allora [tex]\forall \varepsilon_{1}>0, \ \exists f(p_{1}^{*})\ne f(x)[/tex] t.c. [tex]d_{Y}(f(p_{1}^{*}), f(x))<\varepsilon_{1}[/tex], ma questo vuol dire che [tex]f(x)\in (f(E))'[/tex] quindi [tex]y \in \overline{f(E)}[/tex].
II.b) Nel caso contrario, supponiamo che [tex]\exists x \in E', \exists \varepsilon_{1}>0[/tex] t.c. [tex]\exists \delta_{1}=\delta_{1}(\varepsilon_{1}, x) >0[/tex] per il quale tutti gli infiniti [tex]p_{1} \in E, \ p_{1}\ne x: d_{X}(p_1, x)<\delta_1[/tex] soddisfano [tex]f(p_1) = f(x)[/tex].
Ma siccome [tex]f(p_1) \in f(E) \Rightarrow f(x)=y=f(p_1) \in f(E)[/tex] cioè [tex]y \in f(E) \Rightarrow y \in \overline{f(E)}.[/tex]
A breve metterò anche la mia soluzione del punto 2).
Ciao, grazie
1) Se [tex]f[/tex] è una funzione continua da uno spazio metrico [tex]X[/tex] in uno spazio metrico [tex]Y[/tex], si dimostri che [tex]f(\overline{E}) \subset \overline{f(E)}[/tex] per ogni sottoinsieme [tex]E \subset X[/tex].
2) Si dimostri con un esempio che [tex]f(\overline{E})[/tex] può essere un sottoinsieme proprio di [tex]\overline{f(E)}[/tex].
Riguardo al punto 1) la mia dimostrazione è forse un po' laboriosa, ma credo (e vi chiedo conferma) che sia corretta (altre proposte sono ben accette!):
Bisogna far vedere che [tex]\forall y \in f(\overline{E}), y \in \overline{f(E)}[/tex].
Sia [tex]x \in \overline{E}: y=f(x)[/tex]. Considero due casi:
I caso) [tex]x\in E, x \notin E'[/tex] (con [tex]E'[/tex] intendo l'insieme dei punti di accumulazione di [tex]E[/tex]). Allora [tex]y \in f(E) \Rightarrow y\in \overline{f(E)}[/tex].
II caso) [tex]x\in E', x\notin E[/tex], cioè [tex]\forall r>0, \exists p \in E, p \neq x[/tex] t.c. [tex]d_{X}(p,x)
II.a) Supponiamo che tra gli infiniti [tex]p_1 \in E, \ p_1 \ne x: d_{X}(p_1,x)<\delta_1[/tex], ne esista almeno uno, che chiamo [tex]p_{1}^{*}[/tex], tale che [tex]f(p_{1}^{*} \ne f(x) \forall x \in E', \forall \delta_{1}=\delta_{1}(\varepsilon_{1}, x)>0[/tex], cioè anche [tex]\forall \varepsilon_{1}>0[/tex];
allora [tex]\forall \varepsilon_{1}>0, \ \exists f(p_{1}^{*})\ne f(x)[/tex] t.c. [tex]d_{Y}(f(p_{1}^{*}), f(x))<\varepsilon_{1}[/tex], ma questo vuol dire che [tex]f(x)\in (f(E))'[/tex] quindi [tex]y \in \overline{f(E)}[/tex].
II.b) Nel caso contrario, supponiamo che [tex]\exists x \in E', \exists \varepsilon_{1}>0[/tex] t.c. [tex]\exists \delta_{1}=\delta_{1}(\varepsilon_{1}, x) >0[/tex] per il quale tutti gli infiniti [tex]p_{1} \in E, \ p_{1}\ne x: d_{X}(p_1, x)<\delta_1[/tex] soddisfano [tex]f(p_1) = f(x)[/tex].
Ma siccome [tex]f(p_1) \in f(E) \Rightarrow f(x)=y=f(p_1) \in f(E)[/tex] cioè [tex]y \in f(E) \Rightarrow y \in \overline{f(E)}.[/tex]
A breve metterò anche la mia soluzione del punto 2).
Ciao, grazie
Risposte
Per quanto riguarda il punto 2) io inizialmente ho pensato a questo esempio:
\[
E=\mathbb{N}, X=\mathbb{N}, f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, f(n) = 1/n \forall n \in \mathbb{N},
\]
\(f\) è continua e inoltre:
\[
\exists y=0 \in \overline{f(E)} \quad \text{ t.c. } \not\exists m \in \overline{E} = \mathbb{N} : 1/m = 0.
\]
Ma poi ho trovato (credo) un esempio che andasse bene anche per le funzioni, ed ho lasciato perdere le successioni:
\[
E=\mathbb{R}, X=\mathbb{R}, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = exp(x) \forall x \in \mathbb{R},
\]
\(f\) è continua e inoltre:
\[
\exists y=0 \in \overline{f(E)} \quad \text{t.c. } \not\exists \bar{x} \in \overline{E} = \mathbb{R} :\ \exp(\bar{x}) = 0.
\]
Che ne dite? Vanno bene entrambi secondo voi?
Grazie
\[
E=\mathbb{N}, X=\mathbb{N}, f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, f(n) = 1/n \forall n \in \mathbb{N},
\]
\(f\) è continua e inoltre:
\[
\exists y=0 \in \overline{f(E)} \quad \text{ t.c. } \not\exists m \in \overline{E} = \mathbb{N} : 1/m = 0.
\]
Ma poi ho trovato (credo) un esempio che andasse bene anche per le funzioni, ed ho lasciato perdere le successioni:
\[
E=\mathbb{R}, X=\mathbb{R}, f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = exp(x) \forall x \in \mathbb{R},
\]
\(f\) è continua e inoltre:
\[
\exists y=0 \in \overline{f(E)} \quad \text{t.c. } \not\exists \bar{x} \in \overline{E} = \mathbb{R} :\ \exp(\bar{x}) = 0.
\]
Che ne dite? Vanno bene entrambi secondo voi?
Grazie
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