Chiusura spazio funzioni pari in L2
Ciao a tutti, come da titolo ho provato a dimostrare la chiusura dello spazio delle funzioni pari in L2. Vorrei chiedervi se la dimostrazione che ho fatto va bene 
.
Considero una succesione $f_{n} in L_{p}$, dove $L_{p}$ è l insieme delle funzioni pari in $L_{2}(-a;a)$, convergente ad una certa $f in L_{2}$. Devo mostrare quindi che $f in L_{p}$ e per far ciò stimo la differenza $|f(t)-f(-t)|<|f(t)-f_{n}(t)+f_{n}(t)+f_{n}(-t)-f_{n}(-t)-f(-t)|< 2 epsilon$ se $n>N_{epsilon}$.
Quindi ho che $|f(t)-f(-t)|<2 epsilon$ e facendo il limite per $epsilon ->0$ ottengo $|f(t)-f(-t)|=0$.
Data l'arbitrarietà di $t$ la funzione è pari.
E' giusto come procedimento?
Grazie
.Considero una succesione $f_{n} in L_{p}$, dove $L_{p}$ è l insieme delle funzioni pari in $L_{2}(-a;a)$, convergente ad una certa $f in L_{2}$. Devo mostrare quindi che $f in L_{p}$ e per far ciò stimo la differenza $|f(t)-f(-t)|<|f(t)-f_{n}(t)+f_{n}(t)+f_{n}(-t)-f_{n}(-t)-f(-t)|< 2 epsilon$ se $n>N_{epsilon}$.
Quindi ho che $|f(t)-f(-t)|<2 epsilon$ e facendo il limite per $epsilon ->0$ ottengo $|f(t)-f(-t)|=0$.
Data l'arbitrarietà di $t$ la funzione è pari.
E' giusto come procedimento?
Grazie
Risposte
Mmmm... Più o meno, sì, ma c'è da sistemare un po' di roba.
Innanzitutto, stimi la differenza puntuale f(t)-f(-t): sei sicuro di poterlo fare per tutti i \(t\)?
Inoltre, dato che \(f_n\to f\) nel senso di \(L^2\), i.e. \(\| f_n-f\|_{2,]-a,a[}\to 0\), sei sicuro di poter dire anche che \(f_n(t)\to f(t)\) per ogni \(t\)?
Innanzitutto, stimi la differenza puntuale f(t)-f(-t): sei sicuro di poterlo fare per tutti i \(t\)?
Inoltre, dato che \(f_n\to f\) nel senso di \(L^2\), i.e. \(\| f_n-f\|_{2,]-a,a[}\to 0\), sei sicuro di poter dire anche che \(f_n(t)\to f(t)\) per ogni \(t\)?
Grazie Gugo per la risposta.
Ci penso da tutto il giorno ma fatico a trovare risposte alle tue indicazioni.
1) In effetti non è vero per tutti i $t$. Io so che $f in L_{2}$ quindi non è detto sia definita per ogni $t$. Oltrettutto se fosse definita in $t$, non è detto che lo sia in $-t$, e allora come faccio a stimare la differenza?
2) In generale non mi sembra vera, e allora cadrebbe tutta la dimostrazione.
Hai qualche suggerimento? Grazie
EDIT: ho cercato un po' online riguardo al punto 2) e ho trovato che la convergenza in norma $L_{2}$ implica la convergenza puntuale quasi ovunque.(A lezione quando facciamo esercizi di completezza di spazi di funzioni in genere consideriamo sempre come spazio ambiente $C_{[a,b]}$..) Comunque essendo $L_{2}$ uno spazio quoziente dove si identificano le funzioni che coincidono quasi ovunque, il punto due dovrebbe essere risolto giusto?
Ci penso da tutto il giorno ma fatico a trovare risposte alle tue indicazioni.
1) In effetti non è vero per tutti i $t$. Io so che $f in L_{2}$ quindi non è detto sia definita per ogni $t$. Oltrettutto se fosse definita in $t$, non è detto che lo sia in $-t$, e allora come faccio a stimare la differenza?
2) In generale non mi sembra vera, e allora cadrebbe tutta la dimostrazione.
Hai qualche suggerimento? Grazie
EDIT: ho cercato un po' online riguardo al punto 2) e ho trovato che la convergenza in norma $L_{2}$ implica la convergenza puntuale quasi ovunque.(A lezione quando facciamo esercizi di completezza di spazi di funzioni in genere consideriamo sempre come spazio ambiente $C_{[a,b]}$..) Comunque essendo $L_{2}$ uno spazio quoziente dove si identificano le funzioni che coincidono quasi ovunque, il punto due dovrebbe essere risolto giusto?
"Vanzan":
Ciao a tutti, come da titolo ho provato a dimostrare la chiusura dello spazio delle funzioni pari in L2.
Posso chiedere che cosa vuol dire funzione pari in $L^2$? Anche alla luce del tuo ultimo post, non è che stai considerando le funzioni pari come sottoinsieme, ad esempio, di $C([a,b])$ munito della norma 2?
Il testo dell'esercizio è il seguente: "Sia $ L_{d}={ f in L_{2}[-a,a]:f(t)=-f(-t) AA t in [-a:a]}$ e$ L_{p}={f in L_{2}[-a;a]: f(t)=f(-t) AA t in [-a:a]}$
- Dimostrare che $L_{d}$ e$ L_{p}$ sono sottospazi chiusi di dimenzione infinita"
Seguono altri 4 punti..
Quindi a rigor di logica direi che è un sottoinsieme di $L_{2}$, purtroppo.. :-/
- Dimostrare che $L_{d}$ e$ L_{p}$ sono sottospazi chiusi di dimenzione infinita"
Seguono altri 4 punti..
Quindi a rigor di logica direi che è un sottoinsieme di $L_{2}$, purtroppo.. :-/
Effettivamente il testo dell'esercizio è ambiguo.
Io l'avevo interpretato come segue:
Chiaramente, mi ero fatto dell'idea che la chiusura \(\overline{P ([-a,a])}^{\|\cdot\|_2}\) dovesse contenere le funzioni di \(L^2\) che sono pari quasi ovunque, cioé le funzioni \(f\in L^2(-a,a)\) tali che:
\[
f(x)-f(-x)=0 \qquad \text{per q.o. } x \in [-a,a].
\]
La dimostrazione elaborata è buona, con le modifiche che dicevo (che consistono nell'aggiungere un paio di "q.o." qua e là nella dimostrazione proposta da Vanzan).
Infatti, supponiamo che \((f_n)\subseteq P([-a,a])\) tenda ad \(f\in L^2(-a,a)\) nel senso di \(L^2\), cioé \(\lim_n \| f_n-f\|_2=0\); allora esiste un'estratta \((f_{n_k})\subseteq (f_n)\) tale che \(f_{n_k}(x)\to f(x)\) per q.o. \(x\in [-a,a]\) e perciò \(f_{n_k}(-x)\to f(-x)\) per q.o. \(x\in [-a,a]\); ma allora:
\[
f(x)-f(-x) = \lim_k f_{n_k}(x) - f_{n_k}(-x) =\lim_n 0 =0 \qquad \text{per q.o. } x\in [a,b]
\]
(poiché ogni \(f_{n_k}\) è in \(P([-a,a])\)) cosicché \(f\) è pari quasi ovunque in \([-a,a]\).
Io l'avevo interpretato come segue:
Calcolare la chiusura in \(L^2(-a,a)\) di \(P([-a,a]):=\{ f\in C([-a,a]):\ \forall x\in [-a,a],\ f(x)=f(-x)\}\).
Chiaramente, mi ero fatto dell'idea che la chiusura \(\overline{P ([-a,a])}^{\|\cdot\|_2}\) dovesse contenere le funzioni di \(L^2\) che sono pari quasi ovunque, cioé le funzioni \(f\in L^2(-a,a)\) tali che:
\[
f(x)-f(-x)=0 \qquad \text{per q.o. } x \in [-a,a].
\]
La dimostrazione elaborata è buona, con le modifiche che dicevo (che consistono nell'aggiungere un paio di "q.o." qua e là nella dimostrazione proposta da Vanzan).
Infatti, supponiamo che \((f_n)\subseteq P([-a,a])\) tenda ad \(f\in L^2(-a,a)\) nel senso di \(L^2\), cioé \(\lim_n \| f_n-f\|_2=0\); allora esiste un'estratta \((f_{n_k})\subseteq (f_n)\) tale che \(f_{n_k}(x)\to f(x)\) per q.o. \(x\in [-a,a]\) e perciò \(f_{n_k}(-x)\to f(-x)\) per q.o. \(x\in [-a,a]\); ma allora:
\[
f(x)-f(-x) = \lim_k f_{n_k}(x) - f_{n_k}(-x) =\lim_n 0 =0 \qquad \text{per q.o. } x\in [a,b]
\]
(poiché ogni \(f_{n_k}\) è in \(P([-a,a])\)) cosicché \(f\) è pari quasi ovunque in \([-a,a]\).
Ok grazie ad entrambi!! Mi siete stati veramente d'aiuto!
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