Chiusura ed esattezza di una forma differenziale

giowre92
Salve a tutti, in preparazione di Analisi 2 posto un secondo esercizio che mi ha creato qualche dubbio.

Data la forma differenziale : $ omega(x,y) = {Ax + By}/(x^2 + y^2) dx + {Cx - Dy}/{x^2 + y^2} dy $

determinare per quali valori dei parametri la forma è chiusa, per quali valori è esatta e in quest'ultimo caso calcolarne un potenziale.

Per quanto riguarda la chiusura ho proceduto con la definzione :

$ partial / {partial y}({ Ax + By} /{x^2 + y^2}) = partial /{ partial x}( {Cx -Dy}/{x^2 + y^2} } $

e svolgendo i calcoli ho ottenuto le condizioni : $ B=-C, D=-A $ .

A questo punto , essendo di fretta , ho Calcolato il potenziale senz curarmi dell'esattezza ottenendo :

$ F(x,y,z)= A/2 ln(x^2 + y^2) +B arctan (x/y) +c $ .

IL mio dubbio risiede nell'esattezza . IN casi come questi basta imporre una condizione del dominio tipo $ (x,y) $ appartenente ad $ R^2 $ t.c. $ y>0 $ ( che dovrebbe essere connesso) o ci sono altre considerazioni da fare? Gazie a tutti in anticipo :D

Risposte
giowre92
grazie mille sei stato super esauriente XD

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