Chiusura di uno spazio totalmente limitato

[poncelet]

Buongiorno,
mi sono bloccato su di una stupidaggine (credo).
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico completo e sia $Y \subset X$ un suo sottospazio. Come dimostro che se la chiusura di $Y$ è totalmente limitata, anche $Y$ lo è?
Proviamo:

$\bar{Y}$ è totalmente limitato se $\forall \varepsilon > 0$ esiste una $\varepsilon$-rete finita per $\bar{Y}$ ovvero una famiglia di palle $B_{i_{\varepsilon}}$ tali che $\bar{Y} \subseteq \bigcup_i B_{i_{\varepsilon}}$ considerate con la distanza $d$.

E' sufficiente dire che, siccome $Y \subset \bar{Y}$ e $\bar{Y}$ è totalmente limitato, allora anche $Y$ lo è in quanto posso utilizzare la stessa $\varepsilon$-rete di $\bar{Y}$?

[Sk_Anonymous]

"maxsiviero":[...] E' sufficiente dire che, siccome $Y \subset \bar{Y}$ e $\bar{Y}$ è totalmente limitato, allora anche $Y$ lo è in quanto posso utilizzare la stessa $\varepsilon$-rete di $\bar{Y}$?

Non vedo impedimenti!

[poncelet]

Ok era banale. Adesso però dovrei dimostrare che vale anche il viceversa ovvero che $Y$ completamente limitato implica $bar{Y}$ totalmente limitato. E qui provo a ragionare così: se $Y$ è chiuso non c'è niente da dimostrare. Se $Y$ è aperto i punti di $bar{Y}$ che non appartengono a $Y$ sono i soli punti di frontiera. Come faccio ad essere sicuro che la $varepsilon$-rete di $Y$ contenga anche i suoi punti di frontiera?

[Sk_Anonymous]

Un' idea: se l'unione e' finita, \[\overline{ \bigcup_{i=1}^{n(\epsilon)} B^i _\epsilon} = \bigcup_{i=1}^{n(\epsilon)} \overline{B^i _\epsilon}. \]Di conseguenza se \[ Y \subseteq \bigcup_{i=1}^{n(\epsilon)} B^i _\epsilon \subseteq \overline{ \bigcup_{i=1}^{n(\epsilon)} B^i _\epsilon} = \bigcup_{i=1}^{n(\epsilon)} \overline{B^i _\epsilon} \]allora \[\overline{Y} \subseteq \bigcup_{i=1}^{n(\epsilon)} \overline{B^i _\epsilon} \]perche' \(\overline{Y}\) e' il "piu' piccolo chiuso" che contiene \(Y\). A questo punto prendi un qualsiasi \(\delta > 0\) e hai che \(B_{\epsilon + \delta}^i \supset \overline{B_\epsilon ^i}\).

[poncelet]

"Delirium":Un' idea: se l'unione e' finita, \[\overline{ \bigcup_{i=1}^{n(\epsilon)} B^i _\epsilon} = \bigcup_{i=1}^{n(\epsilon)} \overline{B^i _\epsilon}. \]

Ma l'uguaglianza vale? A me sembrava che:

\[\overline{ \bigcup_{i=1}^{n(\epsilon)} B^i _\epsilon} \supset \bigcup_{i=1}^{n(\epsilon)} \overline{B^i _\epsilon}. \]

Perdonami se sbaglio.

Max

[Sk_Anonymous]

Yep - probabilmente non e' la miglior fonte possibile, ma trovi altre dimostrazioni su math.stackexchange (qui per esempio) oppure nei libri citati come riferimenti in proofwiki.

[poncelet]

Ok. Perfetto. Grazie mille.

[dissonance]

"maxsiviero":se $Y$ è chiuso [...]Se $Y$ è aperto

Questo è un errore, Max. Non è che un insieme se non è chiuso è aperto: esempio \([0,1)\).

[poncelet]

Sì scusa, avrei dovuto scrivere "Se $Y$ è chiuso [...], se invece non lo è..."