Chiusura di un insieme in più variabili
Buon pomeriggio a tutti. Ho un domanda da farvi per l'orale di analisi 2. Il prof durante un'interrogazione ha dettato questo:
$A={(x,y)inR^2 : |y|+x^2<=1} $ chiedendo se l'insieme era chiuso o aperto e spiegare perchè. Successivamente ha chiesto di fare il grafico e indicare i punti di frontiera. Vi chiedo come faccio a capire senza disegno se l'insieme è chiuso o aperto? Il grafico in questo caso sono due parabole e sono riuscito a disegnarlo, ma se fossi in $R^3$ come posso fare il disegno? Devo conoscere tutte le equazioni delle figure?
Grazie a tutti
$A={(x,y)inR^2 : |y|+x^2<=1} $ chiedendo se l'insieme era chiuso o aperto e spiegare perchè. Successivamente ha chiesto di fare il grafico e indicare i punti di frontiera. Vi chiedo come faccio a capire senza disegno se l'insieme è chiuso o aperto? Il grafico in questo caso sono due parabole e sono riuscito a disegnarlo, ma se fossi in $R^3$ come posso fare il disegno? Devo conoscere tutte le equazioni delle figure?
Grazie a tutti
Risposte
Uno strumento utile puo' essere il seguente: se $f$ e' una funzione continua allora $f^{-1}(C)$ e' chiuso per ogni $C$ chiuso. Prendi ad esempio $f(x,y):=|y|+x^2$ e $C:=(-\infty,1]$.
"Luca.Lussardi":
Uno strumento utile puo' essere il seguente: se $f$ e' una funzione continua allora $f^{-1}(C)$ e' chiuso per ogni $C$ chiuso. Prendi ad esempio $f(x,y):=|y|+x^2$ e $C:=(-\infty,1]$.
Ciao grazie dell'aiuto, ma non ho capito come applicarlo. Riesci a spiegarmi?
Con la posizione che ti ho dato per $f$ e $C$ il tuo insieme risulta essere esattamente $f^{-1}(C)$ e $C$ e' chiuso...
continuo a non capire perchè $C=(-infty,1]$. Un'altra cosa, i grafici di funzioni in $ R^2$ e $R^3$ come si fanno? Bisogna conoscere per esempio le equazioni di circonferenze, parabole, sfere, o ci sono altri modi?
Ciao, scusate se riprendo questo post, ma ho pensato a ciò che ha scritto l'amministratore Luca Lussardi.
$f(x,y)=abs(y)+x^2$ è continua e definita su un chiuso (R^2 è sia chiuso che aperto) pertanto l'immagine sarà un insieme chiuso. L'immagine mi risulta essere $[0,+\infty)$ che è chiusa. Ora se $C=(-\infty,1]$ come faccio a fare $f^(-1)(C)$ se $C$ non è contenuto nel dominio di $f^(-1)$ che secondo me è $[0,+\infty)$? Non dovrebbe essere $C=[0,1]$? Probabilmente c'è qualcosa che non mi è chiaro, Grazie per l'eventuale risposta
$f(x,y)=abs(y)+x^2$ è continua e definita su un chiuso (R^2 è sia chiuso che aperto) pertanto l'immagine sarà un insieme chiuso. L'immagine mi risulta essere $[0,+\infty)$ che è chiusa. Ora se $C=(-\infty,1]$ come faccio a fare $f^(-1)(C)$ se $C$ non è contenuto nel dominio di $f^(-1)$ che secondo me è $[0,+\infty)$? Non dovrebbe essere $C=[0,1]$? Probabilmente c'è qualcosa che non mi è chiaro, Grazie per l'eventuale risposta
"Ziben":
Ciao, scusate se riprendo questo post, ma ho pensato a ciò che ha scritto l'amministratore Luca Lussardi.
$f(x,y)=abs(y)+x^2$ è continua e definita su un chiuso (R^2 è sia chiuso che aperto) pertanto l'immagine sarà un insieme chiuso. L'immagine mi risulta essere $[0,+\infty)$ che è chiusa. Ora se $C=(-\infty,1]$ come faccio a fare $f^(-1)(C)$ se $C$ non è contenuto nel dominio di $f^(-1)$ che secondo me è $[0,+\infty)$? Non dovrebbe essere $C=[0,1]$? Probabilmente c'è qualcosa che non mi è chiaro, Grazie per l'eventuale risposta
Alla fine ho scoperto che per vedere la chiusura basta guardare se c'è $=$ nella disequazione e in questo caso c'è $<=$ quindi è chiuso perchè la frontiera è compresa nell'insieme, senza stare a fare tutti i ragionamenti complessi.
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