Chiusura di un insieme

[Berker]

Determinare la chiusura di $A={(x,y) : x>0, 2cos(1/x)\le y \le 3^{-x} }$

nello spazio metrico $(0, + \text{inf}) x \mathbb{R}$ dotato di metrica euclidea.

La mia idea è che i punti di accumulazione sono gli $(x ,y) : x=0, -2\le y \le 1$.
Voi cosa ne pensate?

[Weierstress]

Io penso non sia corretto. I punti di accumulazione sono formati da tutte quelle "conche", bordi inclusi, tra i grafici del coseno e dell'esponenziale, e si abbassano sempre di più. Sicuro poi che tu debba descrivere quantitativamente l'insieme dei punti di accumulazione? Perché non sarebbe facilissimo...

[Luca.Lussardi]

Hai solo dimenticato $A$ stesso, dovrebbe venire $A \cup (\{0\}\times [-2,1])$.

[Plepp]

"Weierstress":Io penso non sia corretto. I punti di accumulazione sono formati da tutte quelle "conche", bordi inclusi, tra i grafici del coseno e dell'esponenziale, e si abbassano sempre di più. Sicuro poi che tu debba descrivere quantitativamente l'insieme dei punti di accumulazione? Perché non sarebbe facilissimo...

Io non saprei come fare...se non così: dato che le funzioni
\[\qquad f(x,y):=3^{-x}-y,\quad g(x,y):=\cos(1/x)-y,\qquad (x,y)\in (0,+\infty)\times \mathbb{R}\]
sono continue, gli insiemi
\[f^{-1}([0,+\infty)),\quad g^{-1}((-\infty,0])\]
sono chiusi in $(0,+\infty)\times \mathbb{R}$. Ma allora $A$ è chiuso, in quanto si ha
\[A=f^{-1}([0,+\infty))\cap g^{-1}((-\infty,0])\]
Il segmento $\{0\}\times[-2,1]$ non è da considerare, perché lo spazio ambiente è $(0,+\infty)\times \mathbb{R}$.