Chiusura di spazi di successioni

[SaturnV]

Ciao a tutti, ho un dubbio su come risolvere esercizi di questo tipo:

"Determinare la chiusura di $l_2$ in $(l_oo ,||.||_oo)$"

Immagino che sia una cosa evidente, ma purtroppo non riesco ancora a vederla.

Fabio

[gugo82]

Spunti di riflessione.

- Via lunga.
In $l^oo$ ci sono tutte e sole le successioni limitate; ogni successione di $a=(a_n)\in l^2$, avendo convergente la serie $\sum |a_n|^2$, è infinitesima quindi $l^2 \subseteq l^oo$; la convergenza in $||\cdot ||_oo$ equivale alla convergenza uniforme delle componenti: infatti fissata $(b^m)_(m \in NN) \subseteq l^oo$ con $b^m=(b_n^m)_(n\in NN)$ si ha:

$AA n,m,p \in NN, \quad |b_n^(m+p)-b_n^m|<=||b^(m+p)-b^m||_oo$

quindi se $(b^m)$ è di Cauchy in $||\cdot||_oo$, tutte le successioni di componenti $(b_n^m)_(m \in NN)$ sono di Cauchy in $RR$; detto $b=(b_n)$ il $lim_m b^m$, allora $AA n in NN, b_n=lim_m b_n^m$; ne consegue che:

$lim_n b_n=lim_n lim_m b_n^m$

e dovresti poter dimostrare che è lecito scambiare i limiti a secondo membro, di modo che:

$lim_n b_n=lim_m lim_n b_n^m \quad$;

in tal modo se $(a^m) \subseteq l^2$ converge in $l^oo$, detto $a=(a_n)$ il suo $||\cdot ||_oo$-limite, per la precedente potresti dire che:

$lim_na_n =lim_m lim_n a_n^m =lim_m 0=0$ (ricorda che $lim_n a_n^m=0$ per quanto detto all'inizio),

cosicché $\bar(l^2)_(||\cdot||_oo) \subseteq c_0$* ($c_0$ classe delle successioni infinitesime).
Viceversa è facile vedere che ogni $a \in c_0$ può essere approssimata in $||\cdot ||_oo$ da successioni $c_(00)$ definitivamente nulle; visto che $c_(00)\subseteq l^2$, trovi $c_0=\bar(c_00)_(||\cdot ||_oo) \subseteq \bar(l^2)_(||\cdot ||_oo)$.
Quindi, in definitiva, $\bar(l^2)_(||\cdot||_oo) = c_0$.

- Via breve.
$c_00 \subseteq l^2 \subseteq c_0\subseteq l^oo$; per noti fatti (vedi Rudin, Analisi Reale e Complessa, cap. 3) si ha:

$c_0=\bar(c_00)_(||\cdot ||_oo) \subseteq \bar(l^2)_(||\cdot ||_oo) \subseteq \bar(c_0)_(||\cdot ||_oo)=c_0$

quindi $\bar(l^2)_(||\cdot ||_oo)=c_0$.

N.B.: La classe delle successioni $c_(00)$ svolge negli spazi $l^p$ lo stesso ruolo della classe $C_c(X)$ in $L^p(X)$; insomma i teoremi di densità enunciati in Rudin valgono ancora se si sostituisce $l^p$ ad $L^p(X)$, $c_(00)$ a $C_c(X)$ e $c_0$ a $C_0(X)$.


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* Qui $\bar(E)_(||\cdot ||_oo)$ denota la chiusura di $E\subseteq l^oo$ fatta rispetto alla norma $||\cdot ||_oo$.