Chiusura
Sia $B$ un sottoinsieme proprio di uno spazio topologico. Come si dimostra che la chiusura di $B$ è il più piccolo chiuso che contiene $B$?
Risposte
Provo a rispondermi da solo...
La chiusura di un insieme $B$ ovvero $bar B$ è dato dall'intersezione di tutti i chiusi che contengono $B$. Tutti i chiusi che contengono $B$ hanno un'intersezione non vuota, in quanto tale intersezione conterrà almeno $B$. Ora sappiamo che l'intersezione, anche infinita, di chiusi è un chiuso, dunque $bar B$ è un chiuso. Inoltre $bar B$ è incluso in tutti i chiusi che contengono $B$, essendo il risultato della loro intersezione, dunque è anche il più piccolo tra i chiusi che contengono $B$.
La chiusura di un insieme $B$ ovvero $bar B$ è dato dall'intersezione di tutti i chiusi che contengono $B$. Tutti i chiusi che contengono $B$ hanno un'intersezione non vuota, in quanto tale intersezione conterrà almeno $B$. Ora sappiamo che l'intersezione, anche infinita, di chiusi è un chiuso, dunque $bar B$ è un chiuso. Inoltre $bar B$ è incluso in tutti i chiusi che contengono $B$, essendo il risultato della loro intersezione, dunque è anche il più piccolo tra i chiusi che contengono $B$.
Bravo, avrai reso felice Luca. Credo che per la sua "filosofia" del forum, avere uno che prova a rispondersi da solo sia il massimo 
Quanto alla sostanza, per me tutto bene. Salvo che per una affermazione scorretta, ma solo perché postula (implicitamente) una ipotesi non necessaria. Ovvero quella sul "non vuoto". Allora ricopio la tua "auto-soluzione" effettuando adeguata "epurazione". Più qualche mini-commento.
La chiusura di un insieme $B$ ovvero $bar B$ è dato dall'intersezione di tutti i chiusi che contengono $B$. [OK, partiamo da questa definizione di chiusura. Ottima idea quella di specificare quale definizione si adotta, visto che la chiusura di un insieme può essere definita in diversi modi equivalenti]
Tutti i chiusi che contengono $B$ hanno un'intersezione che conterrà almeno $B$. [Ho semplicemente eliminato l'ipotesi di "non vuoto" che, come diceva uno tanto tempo fa, non è necessaria]
Ora sappiamo che l'intersezione, anche infinita, di chiusi è un chiuso, dunque $bar B$ è un chiuso. [OK]
Inoltre $bar B$ è incluso in tutti i chiusi che contengono $B$, essendo il risultato della loro intersezione, dunque è anche il più piccolo tra i chiusi che contengono $B$. [OK]
Quanto alla sostanza, per me tutto bene. Salvo che per una affermazione scorretta, ma solo perché postula (implicitamente) una ipotesi non necessaria. Ovvero quella sul "non vuoto". Allora ricopio la tua "auto-soluzione" effettuando adeguata "epurazione". Più qualche mini-commento.
La chiusura di un insieme $B$ ovvero $bar B$ è dato dall'intersezione di tutti i chiusi che contengono $B$. [OK, partiamo da questa definizione di chiusura. Ottima idea quella di specificare quale definizione si adotta, visto che la chiusura di un insieme può essere definita in diversi modi equivalenti]
Tutti i chiusi che contengono $B$ hanno un'intersezione che conterrà almeno $B$. [Ho semplicemente eliminato l'ipotesi di "non vuoto" che, come diceva uno tanto tempo fa, non è necessaria]
Ora sappiamo che l'intersezione, anche infinita, di chiusi è un chiuso, dunque $bar B$ è un chiuso. [OK]
Inoltre $bar B$ è incluso in tutti i chiusi che contengono $B$, essendo il risultato della loro intersezione, dunque è anche il più piccolo tra i chiusi che contengono $B$. [OK]
Eh si, in matematica va eliminato il superfluo... a differenza di altri campi, le proposizioni con informazioni ridondanti non sono ortodosse.
una domanda: per me un sottoinsieme proprio di un insieme è un insieme che non coincide con l'insieme stesso. E questo è il senso di gran lunga prevalente in cui l'aggettivo "proprio" è usato.
Taluni però usano questo termine per intendere anche che stanno parlando di un insieme non vuoto. Se per te l'affermazione "sottoinsieme proprio" includeva anche la condizione di essere non vuoto, allora la tua dim era del tutto corretta.
Per quanto dici a proposito di ridondanza, io non trovo che le proposizioni con info ridondanti non siano ortodosse. Semmai, sono uno spreco (di inchiostro, gesso, bit...), ma niente più.
ciao
Taluni però usano questo termine per intendere anche che stanno parlando di un insieme non vuoto. Se per te l'affermazione "sottoinsieme proprio" includeva anche la condizione di essere non vuoto, allora la tua dim era del tutto corretta.
Per quanto dici a proposito di ridondanza, io non trovo che le proposizioni con info ridondanti non siano ortodosse. Semmai, sono uno spreco (di inchiostro, gesso, bit...), ma niente più.
ciao
"Fioravante Patrone":
una domanda: per me un sottoinsieme proprio di un insieme è un insieme che non coincide con l'insieme stesso. E questo è il senso di gran lunga prevalente in cui l'aggettivo "proprio" è usato.
ed è anche il senso che intendevo io
"Fioravante Patrone":
Taluni però usano questo termine per intendere anche che stanno parlando di un insieme non vuoto. Se per te l'affermazione "sottoinsieme proprio" includeva anche la condizione di essere non vuoto, allora la tua dim era del tutto corretta.
effettivamente avrei dovuto specificare "non vuoto".
in ogni caso l'insieme vuoto è un chiuso di per sé ed è contenuto in ogni altro chiuso che lo contiene, dunque è il più piccolo chiuso che contiene sé stesso. giusto?
"giusto?"
sì
sì
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