Chiusi in uno spazio metrico
Sia $(E,d)$ uno spazio metrico, $C subseteq E$.
$C$ è chiuso $Rightarrow$ $AA (x_n)_n$ convergente , con $x_n in C$ si ha $lim_n x_n = bar x in C$
Vale anche il viceversa, ma studiando la dimostrazione di questa implicazione, non ero sicuro di una cosa.
Infatti, sia $C$ chiuso e $(x_n)_n$ una successione convergente, a valori in $C$. Devo dimostrare che il limite $bar x$ appartiene a $C$.
$lim_n x_n = bar x$ significa:
$AA U_(bar x) , EE bar n : AA n , n > bar n Rightarrow x_n in U$
Questo significa che in ogni intorno del limite $bar x$ cadono infiniti $x_n$. Quindi $AA U_(bar x )$ , $U_(bar x )$ $nn$ $C$ è non vuoto.
(*) E se non sbaglio questo significa che $bar x$ appartiene alla chiusura di $C$ ($bar C$), ma, poiché $C$ è chiuso, $bar x in bar C subseteq C$.
(*) Su questa conclusione c'è l'incertezza.
Grazie in anticipo.
$C$ è chiuso $Rightarrow$ $AA (x_n)_n$ convergente , con $x_n in C$ si ha $lim_n x_n = bar x in C$
Vale anche il viceversa, ma studiando la dimostrazione di questa implicazione, non ero sicuro di una cosa.
Infatti, sia $C$ chiuso e $(x_n)_n$ una successione convergente, a valori in $C$. Devo dimostrare che il limite $bar x$ appartiene a $C$.
$lim_n x_n = bar x$ significa:
$AA U_(bar x) , EE bar n : AA n , n > bar n Rightarrow x_n in U$
Questo significa che in ogni intorno del limite $bar x$ cadono infiniti $x_n$. Quindi $AA U_(bar x )$ , $U_(bar x )$ $nn$ $C$ è non vuoto.
(*) E se non sbaglio questo significa che $bar x$ appartiene alla chiusura di $C$ ($bar C$), ma, poiché $C$ è chiuso, $bar x in bar C subseteq C$.
(*) Su questa conclusione c'è l'incertezza.
Grazie in anticipo.
Risposte
"Seneca":
Questo significa che in ogni intorno del limite $bar x$ cadono infiniti $x_n$. Quindi $AA U_(bar x )$ , $U_(bar x )$ $nn$ $C$ è non vuoto.
(*) E se non sbaglio questo significa che $bar x$ appartiene alla chiusura di $C$ ($bar C$), ma, poiché $C$ è chiuso, $bar x in bar C subseteq C$.
(*) Su questa conclusione c'è l'incertezza.
si, la conclusione è giusta, infatti dire che $AA U_(bar x )$ , $U_(bar x )$ $nn$ $C$ è non vuoto, significa che $bar x$è un punto di aderenza per $C$ e quindi appartiene alla chiusura di $C$, (si dimostra che la chiusura di un insieme X è l'insieme dei punti di aderenza per X).
"Seneca":
Questo significa che in ogni intorno del limite $bar x$ cadono infiniti $x_n$.
Non è detto che siano infiniti. Meglio dire: cadono termini di $(x_n)$ per infiniti indici, il che è diverso; prendi ad esempio una successione costante.
Quindi $AA U_(bar x )$ , $U_(bar x )$ $nn$ $C$ è non vuoto.Vero. Il resto è come dice Zilpha, solo attenzione al linguaggio perché non è proprio universale: tra chiusure, aderenze e punti di accumulazione ci sono delle sfumature di significato diverse che però non tutti gli autori riconoscono. Ecco, per esempio io tendo a non fare la distinzione tra aderenza e chiusura che fa lei, mentre preferisco distinguere i punti di accumulazione. Questione di gusti!
Grazie mille ad entrambi...
Teorema: Sia $(E,d)$ uno spazio metrico, $C subseteq E$.
$C$ è chiuso $hArr$ $AA (x_n)_n$ convergente , con $x_n in C$ si ha $lim_n x_n = bar x in C$
Questo è il teorema che ho enunciato in precedenza.
Tuttavia su un altro testo ho scovato quest'altro teorema, che ho la vaga impressione dica sostanzialmente la stessa cosa:
Teorema 2: Sia $(E,d)$ uno spazio metrico, $C subseteq E$.
$bar x in bar C$ $hArr$ $EE (x_n)_n$ convergente , con $x_n in C$ si ha $lim_n x_n = bar x$
Mi sbaglio? Se non sono in errore qualcuno può spiegarmi la differenza tra le due formulazioni?
$C$ è chiuso $hArr$ $AA (x_n)_n$ convergente , con $x_n in C$ si ha $lim_n x_n = bar x in C$
Questo è il teorema che ho enunciato in precedenza.
Tuttavia su un altro testo ho scovato quest'altro teorema, che ho la vaga impressione dica sostanzialmente la stessa cosa:
Teorema 2: Sia $(E,d)$ uno spazio metrico, $C subseteq E$.
$bar x in bar C$ $hArr$ $EE (x_n)_n$ convergente , con $x_n in C$ si ha $lim_n x_n = bar x$
Mi sbaglio? Se non sono in errore qualcuno può spiegarmi la differenza tra le due formulazioni?
Il secondo teorema è più generale. Infatti ti sta dicendo che, in uno spazio metrico, la chiusura di un insieme $C$ si può caratterizzare come l'insieme dei punti che sono limite di qualche successione di elementi di $C$. Il primo teorema allora non fa altro che dire: un insieme è chiuso se e solo se coincide con la propria chiusura.
Ciao Seneca.
Sì, direi che la sostanza è la stessa, anche se il secondo è leggermente più generale. E' in pratica una caratterizzazione dei punti di aderenza (cioè dei punti della chiusura). Tieni conto che l'implicazione [tex]\Leftarrow[/tex] vale sempre (quindi in spazi arbitrari, non necessariamente metrizzabili), mentre invece l'altra implicazione ($=>$) vale solo se per ogni punto del tuo spazio esiste una base numerabile locale (di intorni) o, come si dice di solito, lo spazio soddisfa al I assioma di numerabilità (e ogni spazio metrico è un particolare esempio di spazio primo numerabile).
Ma non ti preoccupare troppo, in un primo corso di topologia avrai modo di approfondire bene questi concetti.
P.S. Scusa dissonance, non avevo notato la tua risposta.
"Seneca":
Teorema 2: Sia $(E,d)$ uno spazio metrico, $C subseteq E$.
$bar x in bar C$ $hArr$ $EE (x_n)_n$ convergente , con $x_n in C$ si ha $lim_n x_n = bar x$
Sì, direi che la sostanza è la stessa, anche se il secondo è leggermente più generale. E' in pratica una caratterizzazione dei punti di aderenza (cioè dei punti della chiusura). Tieni conto che l'implicazione [tex]\Leftarrow[/tex] vale sempre (quindi in spazi arbitrari, non necessariamente metrizzabili), mentre invece l'altra implicazione ($=>$) vale solo se per ogni punto del tuo spazio esiste una base numerabile locale (di intorni) o, come si dice di solito, lo spazio soddisfa al I assioma di numerabilità (e ogni spazio metrico è un particolare esempio di spazio primo numerabile).
Ma non ti preoccupare troppo, in un primo corso di topologia avrai modo di approfondire bene questi concetti.
P.S. Scusa dissonance, non avevo notato la tua risposta.
"Paolo90":Eh non lo so se ti posso perdonare...
P.S. Scusa dissonance
Sarà dura ma ci proverò.
Ringrazio entrambi degli interventi illuminanti.
Buona serata.
Buona serata.
In sostanza ruota tutto attorno al fatto che $C$ è chiuso se $C = bar C$ ; sbaglio?
Per il secondo teorema: preso $bar x in bar C$ so che esiste una successione $(x_n)_n$ in $C$ che ha limite il punto $bar x$. Ma per il primo teorema, poiché $bar C$ è chiuso, si ha che in particolare il limite di $(x_n)_n$ (che è $bar x$) è un punto di $C$.
Questo dimostra che $bar C subseteq C$. L'altra inclusione è banale.
Ho scritto scempiaggini?
Per il secondo teorema: preso $bar x in bar C$ so che esiste una successione $(x_n)_n$ in $C$ che ha limite il punto $bar x$. Ma per il primo teorema, poiché $bar C$ è chiuso, si ha che in particolare il limite di $(x_n)_n$ (che è $bar x$) è un punto di $C$.
Questo dimostra che $bar C subseteq C$. L'altra inclusione è banale.
Ho scritto scempiaggini?
Non sembrano scempiaggini, ma non si capisce che cosa stai cercando di dimostrare. Il fatto che $C=bar{C}$ se e solo se $C$ è chiuso è vero, chiaramente, ed è più o meno ovvio a seconda della definizione che dai tu di $bar{C}$. E' questo che vuoi provare? Prima chiarisci la definizione di $bar{C}$, visto che te ne servi nel secondo teorema.
Io avevo definito un chiuso come il complementare di un insieme aperto e la chiusura di un insieme come l'intersezione di tutti i chiusi che contengono l'insieme stesso.
Quindi forse ho dimostrato che essere chiuso è equivalente ad essere $C = bar C$. Ma forse questa era una cosa più che ovvia, senza dover tirare in mezzo le successioni convergenti.
Quindi forse ho dimostrato che essere chiuso è equivalente ad essere $C = bar C$. Ma forse questa era una cosa più che ovvia, senza dover tirare in mezzo le successioni convergenti.
Sono d'accordo. E in questo modo dei due Teoremi ti serve solo il secondo, il primo è un ovvio corollario. Il secondo teorema peraltro è utilissimo in analisi e anche in certe questioni di topologia generale riguardanti la metrizzabilità.
"Seneca":
I Ma per il primo teorema, poiché $bar C$ è chiuso, si ha che in particolare il limite di $(x_n)_n$ (che è $bar x$) è un punto di $C$.
Questo dimostra che $bar C subseteq C$. L'altra inclusione è banale.
forse volevi dire "poichè $C$ è chiuso"...
vabbè comunque, caro Seneca, non ti arrovellare il cervello, certe volte, le cose si capiscono all'improvviso proprio quando non le stai pensando (è vero che sembra una stupidaggine ma a me capita così 
)
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"Zilpha":
vabbè comunque, caro Seneca, non ti arrovellare il cervello, certe volte, le cose si capiscono all'improvviso proprio quando non le stai pensando (è vero che sembra una stupidaggine ma a me capita così
Beh, le misteriose vie dell'intuizione sono infinite.
A questo riguardo, conoscete la storia del murder weapon theorem? E' un aneddoto che si trova qui:
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/GT.pdf
Coxeter came to Cambridge and gave a lecture [in which he stated a] problem for which he gave proofs for selected examples, and he asked for a unified proof. I left the lecture room thinking. As I was walking through Cambridge, suddenly the idea hit me, but it hit me while I was in the middle of the road. When the idea hit me I stopped and a large truck ran into me. . . . So I pretended that Coxeter had calculated the difficulty of this problem so precisely that he knew that I would get the solution just in the middle of the road. . . . Ever since, I’ve called that theorem “the murder weapon”.
John Conway. Math. Intelligencer 23 (2001), no. 2, pp. 8–9.
ahahahahah oddio, mi sa che devo smettere di pensare alla matematica quando cammino per strada!!!
Chiedo nuovamente supporto per la dimostrazione del primo teorema.
Dimostrazione: "$Rightarrow"
Sia $C$ chiuso e $(x_n)_n$ una qualunque successione a valori in $C$ convergente a $bar x$.
Devo dimostrare che $bar x$ sta in $C$.
Per l'altra implicazione, invece, supponiamo valga la proprietà (*) : $AA (x_n)_n$ convergente , con $x_n in C$ si ha $lim_n x_n = bar x in C$.
Voglio dimostrare che preso un qualunque punto $bar x in bar C$, posso costruire una successione di punti di $C$ che ha $bar x$ come limite. Allora, per l'ipotesi fatta che ogni successione a valori in $C$ converga ad un elemento di $C$, $bar x in C$.
Quindi, se vale la proprietà (*), inevitabilmente ogni punto della chiusura $bar C$ (cioè ogni punto aderente) appartiene all'insieme $C$. Il che implica che $C$ è chiuso.
1) E' tutto corretto quello che ho scritto?
2) Negli appunti che ho la dimostrazione della seconda implicazione cominciava con: "Sia $bar x in C$", ma credo sia sbagliato... Dico bene? In fondo quello che devo dimostrare dovrebbe essere $bar C subseteq C$, che significa $C$ chiuso.
Dimostrazione: "$Rightarrow"
Sia $C$ chiuso e $(x_n)_n$ una qualunque successione a valori in $C$ convergente a $bar x$.
Devo dimostrare che $bar x$ sta in $C$.
Per l'altra implicazione, invece, supponiamo valga la proprietà (*) : $AA (x_n)_n$ convergente , con $x_n in C$ si ha $lim_n x_n = bar x in C$.
Voglio dimostrare che preso un qualunque punto $bar x in bar C$, posso costruire una successione di punti di $C$ che ha $bar x$ come limite. Allora, per l'ipotesi fatta che ogni successione a valori in $C$ converga ad un elemento di $C$, $bar x in C$.
Quindi, se vale la proprietà (*), inevitabilmente ogni punto della chiusura $bar C$ (cioè ogni punto aderente) appartiene all'insieme $C$. Il che implica che $C$ è chiuso.
1) E' tutto corretto quello che ho scritto?
2) Negli appunti che ho la dimostrazione della seconda implicazione cominciava con: "Sia $bar x in C$", ma credo sia sbagliato... Dico bene? In fondo quello che devo dimostrare dovrebbe essere $bar C subseteq C$, che significa $C$ chiuso.
"Seneca":
1) E' tutto corretto quello che ho scritto?
2) Negli appunti che ho la dimostrazione della seconda implicazione cominciava con: "Sia $bar x in C$", ma credo sia sbagliato... Dico bene? In fondo quello che devo dimostrare dovrebbe essere $bar C subseteq C$, che significa $C$ chiuso. Quindi dovrei cominciare prendendo $bar x in bar C$, no?
Mi servirebbe risposta a queste domande, se qualcuno è disponibile. Vorrei avere la certezza di non prendere cantonate.
Grazie.
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