Chiarimento teoremi

[simone.montanari.92]

Ripassando la teoria e lo studio di funzioni mi sono venute delle perplessità riguardanti weierstrass e un altro teorema di cui non so il nome
li enuncio entrambi almeno è tutto sotto gli occhi

T1 WEIERSTRASS: $ f:[a,b]->RR $ continua ammette massimo e minimo
Ciò significa che una funzione in un intervallo 1) Chiuso e 2) Limitato, se 3) Continua ammette massimo e minimo

T2 Sia $ f:[a,b]->RR $; se $ x_0 in (a,b) $ è un punto di estremo relativo(massimo o minimo) e $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f'(x_0)=0$
Questo afferma in pratica, relativamente allo studio di funzioni, che, trovato $x_0$ che annulla la derivata prima, questo è un possibile candidato come massimo o minimo, e scopro se lo è ponendo $f'(x)>=0$.

Il mio dubbio nasce dal fatto che nello studio di, ad esempio, $ xe^(1/(ln(x)) $, che ha dominio $ (0,1)uu (1,+oo) $, ha sia massimo che minimo. L'esistenza del massimo e minimo in questo caso concorda con T2, ma, essendo il dominio unione di intervalli aperti e uno anche non limitato, va contro weierstrass.
Non riesco a capire questa cosa, probabilmente applico male i teoremi o li ho intesi nel modo errato

[Luca.Lussardi]

il t2 non e' un teorema di esistenza, la condizione $f'=0$ e' solo necessaria per i punti di estremo interni nei quali $f$ e' regolare.

[dan952]

"simo954":L'esistenza del massimo e minimo in questo caso concorda con T2, ma, essendo il dominio unione di intervalli aperti e uno anche non limitato, va contro weierstrass.

Ricorda che l'implicazione è a destra, cioè
$f \in C([a,b]) \Rightarrow f$ ammette Max e Min. Se i massimi e minimi esistono non è detto che l'intervallo debba essere chiuso e limitato. Ex. $sin(x)$ in $(-\pi,+\pi)$ ammette massimo e minimo, ma come vedi l'intervallo è aperto.

[simone.montanari.92]

Ah ok, ho capito
ho interpretato male il secondo teorema...
grazie a entrambi