Chiarimento sulle serie a termini qualsiasi
Leggo dall'eserciziario che per il criterio di Leibniz
"Se i valori assoluti dei termini di una serie a segni alterni costituiscono una successione monotona non crescente e se il termine generale converge a zero per $n->oo$, allora la serie converge."
Poi mi va un paio di esempi:
1) $\sum_{n=1}^oo (-1)^n$
è chiaro che i valori assoluti dei termini della serie sono una successione monotona non crescente... il problema è quando fa il limite del termine generale...
$lim_(n->+oo) (-1)^n = 1$
Ma come uguale 1? Sapevo che il limite non esiste...
e ancora
2) $\sum_{n=1}^oo ((-1)^n 1/(2n))$
anche qui ok per la prima parte... ma poi quando calcola il limite $lim_(n->+oo) (1/(2n)) = 0$
e il $(-1)^n$? che fine fa?
"Se i valori assoluti dei termini di una serie a segni alterni costituiscono una successione monotona non crescente e se il termine generale converge a zero per $n->oo$, allora la serie converge."
Poi mi va un paio di esempi:
1) $\sum_{n=1}^oo (-1)^n$
è chiaro che i valori assoluti dei termini della serie sono una successione monotona non crescente... il problema è quando fa il limite del termine generale...
$lim_(n->+oo) (-1)^n = 1$
Ma come uguale 1? Sapevo che il limite non esiste...
e ancora
2) $\sum_{n=1}^oo ((-1)^n 1/(2n))$
anche qui ok per la prima parte... ma poi quando calcola il limite $lim_(n->+oo) (1/(2n)) = 0$
e il $(-1)^n$? che fine fa?
Risposte
Leggere con attenzione... Si parla dei valori assoluti degli addendi. 
$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n a_n$
Se $a_n \geq 0$ è non crescente e $\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=0$ allora la serie converge.
1) In realtà non si può dire nulla di questa serie perché $\lim_{n \rightarrow +\infty} 1=1$
2) $a_n=1/(2n)$ è non crescente e infinitesima dunque converge
Se $a_n \geq 0$ è non crescente e $\lim_{n \rightarrow +\infty} a_n=0$ allora la serie converge.
1) In realtà non si può dire nulla di questa serie perché $\lim_{n \rightarrow +\infty} 1=1$
2) $a_n=1/(2n)$ è non crescente e infinitesima dunque converge
"gugo82":
Leggere con attenzione... Si parla dei valori assoluti degli addendi.
Convinto del fatto che si riferisse al valore asoluto solo per la prima parte non avevo preso minimamente in considerazione l'ipotesi di considerare il valore assoluto del termine generale!
comunque grazie 
"marione111":
[quote="gugo82"]Leggere con attenzione... Si parla dei valori assoluti degli addendi.
Convinto del fatto che si riferisse al valore asoluto solo per la prima parte non avevo preso minimamente in considerazione l'ipotesi di considerare il valore assoluto del termine generale!
comunque grazie [/quote]Beh, per la seconda parte è lo stesso...
Infatti è banale dimostrare che \(\displaystyle \lim_n a_n = 0\) se e solo se \(\displaystyle \lim_n |a_n| =0\), no?
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