Chiarimento sulla ricerca di minimi e massimi in R^2

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curiosone1

31 gen 2017, 20:58

Ciao ragazzi, vorrei esporre un chiarimento riassuntivo riguardo la ricerca di minimi e massimi relativi/assoluti di una funzione così definita:

Funzione senza vincoli
$ f(x, y) : A -> R $ con $ A sube R^2 $
Determinazione di punti di minimo/massimo/sella: praticamente sono i punti min/max/sella dove considero l'insieme dei punti interni del dominio D, ossia lavoro con parte interna di D.

(1) Gradiente della f(x, y) = 0
$ (partial f)/(partial x)(x, y) = 0 $
$ (partial f)/(partial y)(x, y) = 0 $
In questo modo determino i punti P1, P2, P3, P4, ... che sono punti critici (non so se sono di min/max/sella locale).

(2) Matrice Hessiana: calcolo le derivate seconde parziali
$ [ ( (partial f)/(partial x)((partial f)/(partial x)) , (partial f)/(partial x)((partial f)/(partial y)) ),( (partial f)/(partial y)((partial f)/(partial x)) , (partial f)/(partial y)((partial f)/(partial y)) ) ] $
Calcolo la matrice Hessiana per ogni punto Pi e:
# se determinante è >0 è l'elemento in posizione (1,1) è >0 -> è un punto di Minimo Locale
# se determinante è >0 è l'elemento in posizione (1,1) è <0 -> è un punto di Massimo Locale
# se determinante è <0 -> è un punto di Sella
# se determinante =0 -> non posso concludere nulla, devo usare altri metodi.
Domande su questo procedimento
(A) Il mio procedimento fino a qui è corretto?
(B) Si parla di sella, non di "sella locale", giusto? Non avrebbe molto senso...
(C) Questo metodo mi permette di scoprire punti critici per la parte interna del dominio della funzione ma anche punti di max/min assoluti in caso in cui la funzione sia definita su tutta R^2 (esempio: f = x^2+y^3-4x) oppure dove il dominio coincida con la parte interna, giusto?
(D) Quali altri metodi nel caso il determinante sia nullo?
#1: metodo dei segni: pongo f(x,y)>=f(Px, Py), faccio il grafico e lavoro con i segni. Questo metodo mi va bene se ho prodotto di funzioni, esempio: y^2*(x-4)>=0.
#2. Quali altri metodi???

Funzione con vincolo di uguaglianza =
$ f(x, y) : A -> R $ , $ A sube R^2 $ con $ g(x,y)=0 $

(1) Calcoldo del gradiente di f(x, y):
$ (partial f)/(partial x)(x, y) $
$ (partial f)/(partial y)(x, y) $

(2) Verifichiamo che
$ grad g(x,y) != 0 text( per tutti i punti (x,y)) in text(vincolo) $

(3) Metodo dei moltiplicatori di Lagrange:
Pongo a sistema:
$ { ( (partial f)/(partial x)(x, y) - lambda * (partial g)/(partial x)(x, y) = 0),
( (partial f)/(partial y)(x, y) - lambda * (partial g)/(partial y)(x, y) = 0),
(text(vincolo di uguaglianza))
:} $
In questo modo determino i punti P1, P2, P3, P4, ... possibili punti di min/max poichè mi viene fornita una condizione sufficiente ma non necessaria.

(4) Verifico, per ciascun punto P1, P2, P3, P4, ..., se è di massimo oppure di minimo -> calcolo la f(Pi) e controllo i valori e deduco la natura dei punti.

Domande su questo procedimento
(A) Il mio procedimento fino a qui è corretto?
(B) Per trovare la sella utilizzo il metodo Funzione senza vincoli?
(C) Se il passo #2 mi dice che c'è qualche punto Px che non soddisfa la condizione che faccio? Che cosa deduco?

Altre domande generali
Se ho una funzione $ f(x, y) : A -> R $ , $ A sube R^2 $ con $ g(x,y)<=0 $ oppure con $ f(x, y) : A -> R $ , $ A sube R^2 $ con $ g(x,y)>=0 $
Come faccio a trovare i punti di minimo/massimo/sella locali/assoluti? Quale metodo applico?

Grazie mille ragazzi! Spero che il mio post sia utile, oltre che a me, a qualcun altro in futuro