Chiarimento sulla frontiera regolare
Ciao a tutti!
Studiando analisi ho difficoltà a comprendere cosa sia la frontiera regolare di un aperto G in $ RR^(n) $ (ovvero l'insieme dei punti della frontiera di G che sono regolari). So la definizione ma non riesco ad avere un'idea di cosa sia praticamente.
Potreste chiarirmi le idee?
Grazie mille!
Studiando analisi ho difficoltà a comprendere cosa sia la frontiera regolare di un aperto G in $ RR^(n) $ (ovvero l'insieme dei punti della frontiera di G che sono regolari). So la definizione ma non riesco ad avere un'idea di cosa sia praticamente.
Potreste chiarirmi le idee?
Grazie mille!
Risposte
Intanto dicci la definizione che hai!
Si, scusami hai ragione...
Questa è la definizione:
Siano $n in NN\\{0}, k in {oo} uu NN \\{0}.$ Sia G un aperto di $ RR ^(n)$. Un punto $p in del G$ è regolare di classe $C^(k)$ se esistono un intorno aperto $Vp$ di $p in RR^(n)$ ed una mappa $g in C^(k)(Vp,RR)$ sommersiva e tale che
$Vp nn G = { x in Vp : g(x)<0}$
$Vp nn del G = {x in Vp : g(x)=0 } $
dove $del G$ è la frontiera di G.
Scusatemi ancora.
Questa è la definizione:
Siano $n in NN\\{0}, k in {oo} uu NN \\{0}.$ Sia G un aperto di $ RR ^(n)$. Un punto $p in del G$ è regolare di classe $C^(k)$ se esistono un intorno aperto $Vp$ di $p in RR^(n)$ ed una mappa $g in C^(k)(Vp,RR)$ sommersiva e tale che
$Vp nn G = { x in Vp : g(x)<0}$
$Vp nn del G = {x in Vp : g(x)=0 } $
dove $del G$ è la frontiera di G.
Scusatemi ancora.
Ciao...io geometricamente la penso così: la frontiera regolare è l'insieme di quei punti p per cui è possibile disegnare il piano tangente all'inisieme G in p (e questo corrisponde al fatto che esista un vincolo g come quello nella definizione) e in più l'iniseme G deve stare tutto dalla stessa parte rispetto a questo piano tangente (e questo dovrebbere corrispondere alla condizione del segno sul vincolo)...spero di averti un po' aiutato 
E' un po' più chiaro!!!! Faccio un po' fatica a "visualizzare" queste cose... grazie mille! 
Consideriamo per questione di comodo il caso 2-dimensionale. Il prototipo di aperto con il bordo regolare è il semipiano superiore $RR_+^2={(x, y) | y>0}$: infatti in questo caso il bordo è l'asse delle $x$, un oggetto bello liscio, senza storture né trappole varie, e l'aperto "sta tutto dalla stessa parte" del bordo.
Purtroppo non è che tutti i problemi si possono ambientare in $RR_+^2$, in generale ci si dovrà confrontare con aperti $Omega$ di diversa natura. Così si cerca di ritrovare in questi aperti alcune delle proprietà "buone" di $RR_+^2$ elencate sopra. In particolare si dice che $Omega$ è un aperto con frontiera regolare se per ogni punto $x_0$ della frontiera di $Omega$ esistono un sistema di coordinate cartesiane $(xi, eta)$, con origine in $x_0$, e una funzione regolare $F$ tale che, in tutto un intorno $U$ di $x_0$, si abbia
$U nn Omega={(xi, eta) | F(xi, eta)>0}, U nn partial Omega={(xi, eta) | F(xi, eta)=0}$.
Ovvero, intorno ad $x_0$ il bordo di $Omega$ è il grafico e $Omega$ è il sopragrafico (rispetto alle nuove coordinate $(xi, eta)$) di una funzione regolare $F$. Questa definizione non è la migliore possibile dal punto di vista teorico, ecco perché se ne danno varie altre equivalenti: però questa è abbastanza vivida dal punto di vista intuitivo.
Qui qualche esempio:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#353962
Purtroppo non è che tutti i problemi si possono ambientare in $RR_+^2$, in generale ci si dovrà confrontare con aperti $Omega$ di diversa natura. Così si cerca di ritrovare in questi aperti alcune delle proprietà "buone" di $RR_+^2$ elencate sopra. In particolare si dice che $Omega$ è un aperto con frontiera regolare se per ogni punto $x_0$ della frontiera di $Omega$ esistono un sistema di coordinate cartesiane $(xi, eta)$, con origine in $x_0$, e una funzione regolare $F$ tale che, in tutto un intorno $U$ di $x_0$, si abbia
$U nn Omega={(xi, eta) | F(xi, eta)>0}, U nn partial Omega={(xi, eta) | F(xi, eta)=0}$.
Ovvero, intorno ad $x_0$ il bordo di $Omega$ è il grafico e $Omega$ è il sopragrafico (rispetto alle nuove coordinate $(xi, eta)$) di una funzione regolare $F$. Questa definizione non è la migliore possibile dal punto di vista teorico, ecco perché se ne danno varie altre equivalenti: però questa è abbastanza vivida dal punto di vista intuitivo.
Qui qualche esempio:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#353962
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