Chiarimento sulla formula di Taylor
Salve a tutti, studiando la formula di Taylor non ho ben capito se il polinomio che ottengo è un'approssimazione di quello di partenza o un'equivalente di quello iniziale. Vi chiedo questo perchè mi è stato detto che trovo un approssimazione, ma allora non capisco come è possibile andare a sostituire nel calcolo del limite un polinomio con il suo "equivalente" polinomio di Taylor.
Scusate per la domanda banale e grazie in anticipo per le risposte.
Scusate per la domanda banale e grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
Provo a darti una risposta io XD
Allora "la funzione da approssimare = polinomio approssimante+errore di approssimazione" dove l'errore coincide con il resto di peano o il resto di lagrance...adesso ti risulta piu chiaro ?
Allora "la funzione da approssimare = polinomio approssimante+errore di approssimazione" dove l'errore coincide con il resto di peano o il resto di lagrance...adesso ti risulta piu chiaro ?
Se una funzione $f(x)$ è un polinomio o una serie polinomiale allora sicuramente è possibile scriverla nella forma $f(x)=f(0)+xf'(0)+(x^2/2)f''(0)+........+(x^n/(n!))f^n(0)+..$, viceversa ci si pone la domanda se $f(x)$ è una qualsiasi funzione definita in un intorno contenente $0$, ed ivi indefinitivamente derivabile, è possibile scriverla in una forma polinomiale?
La risposta è affermativa se il termine ennesimo della serie polinomiale approssimante, che intendiamo sostituire alla nostra funzione, $(x^n/(n!))f^n(phi)$ con $phi$ compreso fra $0$ e $x$, tenda a $0$ per $n->infty$,di modo che la nostra serie risulta convergente per ogni $x$, abbiamo così una condizione necessaria e sufficiente;
In alcune funzioni come ad esempio $sinx$ o $e^x$, ciò è possibile, e lo si può vedere facilmente, in quanto le loro derivate successive risultano equilimitate per ogni $x$ , in sostanza man mano che assumo dei valori di $n$ sempre più grandi , i valori della serie polinomiale che intendo sostituire, approssimeranno meglio i valori della funzione data.
Si noti bene però che è fondamentale che lo $0$ appartenga all'intervallo di definizione di queste funzioni, diversamente ciò non risulterebbe evidentemente possibile, per esempio alla funzione $1/x$ non è possibile sostituire nessuna serie polinomiale, in quanto appunto in $0$ non è definita.
Spero che il mio discorso sia esatto e chiaro, e possa esserti di aiuto nella comprensione dell'argomento.
La risposta è affermativa se il termine ennesimo della serie polinomiale approssimante, che intendiamo sostituire alla nostra funzione, $(x^n/(n!))f^n(phi)$ con $phi$ compreso fra $0$ e $x$, tenda a $0$ per $n->infty$,di modo che la nostra serie risulta convergente per ogni $x$, abbiamo così una condizione necessaria e sufficiente;
In alcune funzioni come ad esempio $sinx$ o $e^x$, ciò è possibile, e lo si può vedere facilmente, in quanto le loro derivate successive risultano equilimitate per ogni $x$ , in sostanza man mano che assumo dei valori di $n$ sempre più grandi , i valori della serie polinomiale che intendo sostituire, approssimeranno meglio i valori della funzione data.
Si noti bene però che è fondamentale che lo $0$ appartenga all'intervallo di definizione di queste funzioni, diversamente ciò non risulterebbe evidentemente possibile, per esempio alla funzione $1/x$ non è possibile sostituire nessuna serie polinomiale, in quanto appunto in $0$ non è definita.
Spero che il mio discorso sia esatto e chiaro, e possa esserti di aiuto nella comprensione dell'argomento.
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