Chiarimento sulla convergenza per Leibnitz
Ciao a tutti. Scrivo perchè ho un dubbio sulle conclusioni da trarre una volta applicato il teorema di Leibnitz sulle serie alternanti. Se ho una serie alternante, appunto, una volta stabilito che essa decresce e che è infinitesima essa converge semplicemente. La mia domanda è: la serie converge semplicemente anche se l'infinitesimo è di ordine maggiore di 1, oppure in quel caso per il criterio dell'infinitesimo essa converge assolutamente?
Grazie per le delucidazioni eventuali
Grazie per le delucidazioni eventuali
Risposte
come studieresti queste due serie?
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2},\qquad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
\end{align*}
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2},\qquad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
\end{align*}
allora innanzi tutto per la prima direi che è decrescente, in quanto il termine an della serie tende a zero. L'ordine di infinitesimo è 2. Se interpreto quello affermato dal teorema di Leibnitz direi che è semplicemente convergente.
la seconda serie anch'essa decrescente, ma con ordine di infinitesimo 1/2. direi che non converge...
Cosa ho sbagliato?
la seconda serie anch'essa decrescente, ma con ordine di infinitesimo 1/2. direi che non converge...
Cosa ho sbagliato?
... in realtà è corretto quanto dici, almeno per la prima serie; tuttavia la prima cosa da fare per le serie a termini non costanti è vedere la convergenza assoluta, poichè sai che se converge assolutamente allora converge semplicemente; il criterio di Leibniz ti dice che una serie a segno alterno con le sue ipotesi converge semplicemente; allora nel primo caso
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}
\end{align*}
hai una serie di segno non costante, anzi di segno alterno allora applicando la convergenza assoluta hai
\begin{align*}
\left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right|=\frac{1}{n^2}\to\mbox{converge assolutamente, quindi semplicemente}
\end{align*}
applicando Leibniz invece hai che converge semplicemente , e perdi l'informazione relativa alla convergenza assoluta, che è più forte;
per la seconda
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n}
\end{align*}
studiano la convegenza assoluta hai che diverge assolutamente, e ciò non ti permentte di concludere nulla, allora applicando Leibniz puoi concludere he la serie converge semplicemente, ma non assolutamente.
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}
\end{align*}
hai una serie di segno non costante, anzi di segno alterno allora applicando la convergenza assoluta hai
\begin{align*}
\left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right|=\frac{1}{n^2}\to\mbox{converge assolutamente, quindi semplicemente}
\end{align*}
applicando Leibniz invece hai che converge semplicemente , e perdi l'informazione relativa alla convergenza assoluta, che è più forte;
per la seconda
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n}
\end{align*}
studiano la convegenza assoluta hai che diverge assolutamente, e ciò non ti permentte di concludere nulla, allora applicando Leibniz puoi concludere he la serie converge semplicemente, ma non assolutamente.
Quindi per il teorema di Leibnitz è sufficiente che sia infinitesima, ma non infinitesima di ordine maggiore di 1?
infinitesima e decrescete e la serie a termini alterni
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