Chiarimento sul rotore

[Quinzio]

Ho preso questa immagine dal Canuto Tabacco II, sperando di non infrangere alcun regolamento.


Non riesco a capire come mai l'ultima formula $bb{ \rot\ \Phi}$ abbia la componente $bb k$ a zero quando nella definizione precedente è l'unica componente non nulla.

Qualcuno ha qualche idea ?

[Quinzio]

Direi di aver capito.
Quello che non mi era chiaro era la differenza formale tra una funzione vettoriale $bb{\Phi:RR^2 -> RR^3}$ con la sola componente $bb k$ non nulla e una campo scalare $RR^2 -> RR$.
All'atto pratico potrebbero essere considerate la stessa cosa, ma non lo sono.

[Demostene92]

Intanto le due formule differiscono per il fatto che la prima si riferisce ad un campo vettoriale, mentre la seconda si riferisce ad uno scalare. Posto $\hat\phi(x_1,x_2,x_3)=\varphi(x_1,x_2)\hate_3$, dove ho tralasciato le componenti nulle, sviluppando il rotore, ottieni immediatamente quello che cerchi, infatti:


$rot(\hat\phi) = |(\hate_1,\hate_2,\hate_3),((del)/(delx),(del)/(dely),(del)/(delz)),(0,0,\varphi)|=(del\varphi)/(dely)\hate_1-(del\varphi)/(delx)\hate_2$

da cui segue che la componente lungo il versore $\hate_3$ è nulla.

P.S. Scusa per il crossposting, non mi ero accorto della tua risposta!

[Quinzio]

Grazie comunque...!