Chiarimento sugli sviluppi di McLaurin
Salve a tutti, vorrei un chiarimento sugli sviluppi di Taylor:
a lezione ho segnato che, per esempio, la derivata ottantesima di e^(x^20) è facile intuire che sarà uno sviluppo di McLaurin fino al quarto ordine (perché 20*4 = 80 appunto e combacia...). Invece se per esempio fosse stata derivata ottantacinquestima di e^(x^20), sarebbe venuta 0 perché 20 e 85 non sono legati da una relazione sottomultiplo-multiplo.
Però poi in un altro esercizio mi trovo testuali appunti: "nello sviluppo all'ordine 12 di McLaurin di e^(sin(x^8)) basta fermarsi al primo ordine, che sarà in questo caso (x^8), perché se procedo con gli altri sfocio in gradi più alti di 12 che quindi sono superflui".
Ora la mia domanda è: se vale la regola multiplo-sottomultiplo perché lo sviluppo 12 di e^(sin(x^8)) non è 0? In fondo 8 e 12 mica sono tra loro legati dalla stessa relazione che c'è tra 20 e 80...
Grazie in anticipo a tutti
a lezione ho segnato che, per esempio, la derivata ottantesima di e^(x^20) è facile intuire che sarà uno sviluppo di McLaurin fino al quarto ordine (perché 20*4 = 80 appunto e combacia...). Invece se per esempio fosse stata derivata ottantacinquestima di e^(x^20), sarebbe venuta 0 perché 20 e 85 non sono legati da una relazione sottomultiplo-multiplo.
Però poi in un altro esercizio mi trovo testuali appunti: "nello sviluppo all'ordine 12 di McLaurin di e^(sin(x^8)) basta fermarsi al primo ordine, che sarà in questo caso (x^8), perché se procedo con gli altri sfocio in gradi più alti di 12 che quindi sono superflui".
Ora la mia domanda è: se vale la regola multiplo-sottomultiplo perché lo sviluppo 12 di e^(sin(x^8)) non è 0? In fondo 8 e 12 mica sono tra loro legati dalla stessa relazione che c'è tra 20 e 80...
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
Buh, secondo me fai prima a scrivere lo sviluppo e si capisce subito. Siccome $\sin(x^8)=x^8 + O(x^24)$, abbiamo che \[e^{\sin(x^8)}=1+ (x^8+O(x^{24})) + \frac{1}{2}(x^8+O(x^{24}))^2+\ldots = 1+x^8 + O(x^{16}).\]
E quindi in particolare non ci sono termini di ordine 12, come dici tu. Questa "regola del multiplo-sottomultiplo" mi pare una cosa inutile da ricordarsi, meglio fare questo conticino ogni volta
E quindi in particolare non ci sono termini di ordine 12, come dici tu. Questa "regola del multiplo-sottomultiplo" mi pare una cosa inutile da ricordarsi, meglio fare questo conticino ogni volta
Va bene, allora proverò a scrivere ogni volta lo sviluppo e ragionarci su 
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