Chiarimento successioni

[Viir1]

Salve a tutti ho bisogno di una mano. Devo sostenere l'esame di analisi (premetto di non aver mai studiato analisi in vita mia) e ho un problemino. Ho bisogno di aiuto con le successioni... praticamente ho un esercizio che dice: "stabilire se la successione è limitata superiormente, inferiormente o è limitata". Ed ho an = n\n+2. La soluzione del libro mi dice che tale successione è limitata. So che per definizione una successione è limitata se esistono due numeri m, M appartenenti a R tali che per ogni n, m≤an≤M. Ecco vorrei capire come si determinano i numeri m e M?? C'è un metodo per farlo? In base a quale teoria la successione è limitata? Aiutatemi a capire.. grazie

[Seneca1]

$a_n = n/(n+2)$ è limitata poiché, fissato $epsilon > 0$ esiste in corrispondenza un $bar n$ tale che $AA n , n >= bar n$ , $|a_n - 1 | < epsilon$

ovvero $a_n in ( 1 - epsilon , 1 + epsilon ) , AA n >= bar n$.

A questo punto hai trovato una limitazione superiore per $a_n$ che vale dall'indice $bar n$ in poi. Come maggiorante per la tua successione puoi prendere allora $M : = "max" Gamma$, ove $Gamma := { a_1 , a_2 , ... , a_(bar n - 1) } uu { 1 + epsilon }$.

Analogamente per la limitazione inferiore $m$.

Naturalmente questo modo di procedere è molto generale... Nel caso in questione bastava notare che $n < n + 2$ , $AA n in NN$ e dunque $ a_n = n/(n+2) < 1 $; quindi bastava prendere $M := 1$.
D'altra parte $a_n = n/(n + 2) > 0$, da cui la possibile scelta $m := 0$.

[gugo82]

"Viir":Salve a tutti ho bisogno di una mano. Devo sostenere l'esame di analisi (premetto di non aver mai studiato analisi in vita mia) e ho un problemino. Ho bisogno di aiuto con le successioni... praticamente ho un esercizio che dice: "stabilire se la successione è limitata superiormente, inferiormente o è limitata". Ed ho an = n\n+2. La soluzione del libro mi dice che tale successione è limitata. So che per definizione una successione è limitata se esistono due numeri m, M appartenenti a R tali che per ogni n, m≤an≤M. Ecco vorrei capire come si determinano i numeri m e M?? C'è un metodo per farlo? In base a quale teoria la successione è limitata? Aiutatemi a capire.. grazie

Il libro degli esercizi che dice in proposito?