Chiarimento su un limite
Sto seguendo lo svolgimento di un esercizio sui limiti.
Il limite è il seguente:
$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)-e$
Uso l'identità: $f(x)^g(x)=e^(g(x)logf(x))$
Ne consegue, quindi: $lim_(x->0)(1+x)^(1/x)-e=e^(log(1+x))-e$
Ponendo $e$ a fattor comune, si perviene a $e [e^(log((1+x)-x)/x)-1]$. riconducendomi al limiti notevoli, moltiplico e divido per $log((1+x)-x)/x$ che è pari ad 1.
1) Il testo, a tal punto dice: poiche per $h->0$ la parte principale di $log(1+x)$ è $x$, la differenza $log(1+x)-x$ è infinitesima di ordine maggiore di 1. Perchè? Non riesco a capire e mi blocco?
2) L'esercizio prosegue così:$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)-e=e lim_(x->0)log((1+x)-x)/x^2$. Non riesco a comprendere da dove salta fuori $x^2$.
A questo punto si applica l'Hopital e l'esercizio si conclude.
Potreste delucidarmi sui dubbi 1 e 2
Grazie
Il limite è il seguente:
$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)-e$
Uso l'identità: $f(x)^g(x)=e^(g(x)logf(x))$
Ne consegue, quindi: $lim_(x->0)(1+x)^(1/x)-e=e^(log(1+x))-e$
Ponendo $e$ a fattor comune, si perviene a $e [e^(log((1+x)-x)/x)-1]$. riconducendomi al limiti notevoli, moltiplico e divido per $log((1+x)-x)/x$ che è pari ad 1.
1) Il testo, a tal punto dice: poiche per $h->0$ la parte principale di $log(1+x)$ è $x$, la differenza $log(1+x)-x$ è infinitesima di ordine maggiore di 1. Perchè? Non riesco a capire e mi blocco?
2) L'esercizio prosegue così:$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)-e=e lim_(x->0)log((1+x)-x)/x^2$. Non riesco a comprendere da dove salta fuori $x^2$.
A questo punto si applica l'Hopital e l'esercizio si conclude.
Potreste delucidarmi sui dubbi 1 e 2
Grazie
Risposte
Ciao, tre osservazioni:
1)
[mod="Steven"]Ti chiedo di modificare il titolo del topic, in quanto troppo generico.
Scegline uno che indichi l'argomento in questione, come da regolamento.
[/mod]
2)
Vedo spesso che tu (o il testo, non so) scrivi
$log((1+x)-x)$
Ma questa quantità, indipendentemente da $x$, è identicamente uguale a $log1$ cioè a $0$.
Perché dici che
$frac{log((1+x)-x)}{x}$ è pari a $1$ ?
3)
Il limite iniziale io lo avrei risolto osservando che
$lim_(xto0^+)(1+x)^(1/x)=e$
ponendo facilmente $x=1/y$ e arrivando alla forma
$lim_(yto+oo)(1+1/y)^(y)$ che è proprio $e$ per definizione.
Inoltre lui questo limite notevole, se non sbaglio, lo usa quando dice che $ln(1+x)\simx$ per $xto0$
Ciao.
1)
[mod="Steven"]Ti chiedo di modificare il titolo del topic, in quanto troppo generico.
Scegline uno che indichi l'argomento in questione, come da regolamento.
[/mod]2)
Vedo spesso che tu (o il testo, non so) scrivi
$log((1+x)-x)$
Ma questa quantità, indipendentemente da $x$, è identicamente uguale a $log1$ cioè a $0$.
Perché dici che
$frac{log((1+x)-x)}{x}$ è pari a $1$ ?
3)
Il limite iniziale io lo avrei risolto osservando che
$lim_(xto0^+)(1+x)^(1/x)=e$
ponendo facilmente $x=1/y$ e arrivando alla forma
$lim_(yto+oo)(1+1/y)^(y)$ che è proprio $e$ per definizione.
Inoltre lui questo limite notevole, se non sbaglio, lo usa quando dice che $ln(1+x)\simx$ per $xto0$
Ciao.
Inoltre c'è un errore iniziale, seppure dopo (forse, vedi correzioni di Steve) corretto
$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)-e=e^(log(1+x))-e$
Dovrebbe essere
$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)-e=e^(log(1+x)/x)-e$
Per verificare l'ordine di infinitesimo di $log(1+x)-x$ dovresti sviluppare in serie di Taylor $log(1+x)$, è immediato. Noterai che i termini di primo grado si semplificano.
$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)-e=e^(log(1+x))-e$
Dovrebbe essere
$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)-e=e^(log(1+x)/x)-e$
Per verificare l'ordine di infinitesimo di $log(1+x)-x$ dovresti sviluppare in serie di Taylor $log(1+x)$, è immediato. Noterai che i termini di primo grado si semplificano.
Ciao e grazie innanzitutto.
Hai ragione il titolo è troppo striminzito e poco chiaro.
Come detto sto seguendo lo sviluppo di un esercizo sul testo "lezioni di analisi matematica I" di R. Fiorenza, O. Greco
IL limite è (ho omesso il denominatore, chiedo scusa):
$lim_(x->0)((1+x)^(1/x)-e)/x$
Seguendo il ragionamento del libro mi trovo come indicato e mi blocco siu precedenti punti.
Il risultato finale $-e/2$
Grazie
Hai ragione il titolo è troppo striminzito e poco chiaro.
Come detto sto seguendo lo sviluppo di un esercizo sul testo "lezioni di analisi matematica I" di R. Fiorenza, O. Greco
IL limite è (ho omesso il denominatore, chiedo scusa):
$lim_(x->0)((1+x)^(1/x)-e)/x$
Seguendo il ragionamento del libro mi trovo come indicato e mi blocco siu precedenti punti.
Il risultato finale $-e/2$
Grazie
Ps:
non conosco lo sviluppo in serie.
Devo risolvere con i limiti notevoli, Hopital e gli infiniti/infinitesimi.
Grazie
non conosco lo sviluppo in serie.
Devo risolvere con i limiti notevoli, Hopital e gli infiniti/infinitesimi.
Grazie
"vitus":
Hai ragione il titolo è troppo striminzito e poco chiaro.
[mod="Fioravante Patrone"]E quindi mi sarei aspettato che tu lo modificassi...
Per questa volta ho provveduto io.[/mod]
Direi di fare un po' di ordine. Se il limite è il seguente
$lim_(x->0)((1+x)^(1/x)-e)/x$
allora puoi scrivere
$lim_(x->0)((1+x)^(1/x)-e)/x=lim_(x->0)(e^(log(1+x)/x)-e)/x=lim_(x->0)e((e^((log(1+x)-x)/x)-1)/x)=lim_(x->0)e((e^((log(1+x)-x)/x)-1)/((log(1+x)-x)/x))(log(1+x)-x)/x^2=lim_(x->0)e*(log(1+x)-x)/x^2=lim_(x->0)e(-x^2/2)/x^2=-e/2$
dove, il tuo libro ti fa notare che la funzione $(log(1+x)-x)$ è infinitesima di ordine superiore al primo (ovvero per $x->0$ essa tende a 0 più velocemente di $x$ e quindi il termine complessivo $(log(1+x)-x)/x$ tende a zero) il che ti permette di sfruttare il limite notevole dell'esponenziale. Per la medesima ragione, ovvero essendo le funzioni a numeratore e denominatore di $(log(1+x)-x)/x^2$ infinitesimi dello stesso ordine il loro rapporto è finito e pari ad -1/2. Tutto questo si fa vedere sviluppando in serie di Taylor la funzione $log(1+x)$. In definitiva, per rispondere al tuo primo quesito, devi sviluppare in serie di Taylor la suddetta funzione (se non conosci gli sviluppi non è mai tardi per imparare); per il secondo, il fattore $x^2$ compare in quanto precedentemente ti eri dimenticato il fattore $x$ a denominatore.
$lim_(x->0)((1+x)^(1/x)-e)/x$
allora puoi scrivere
$lim_(x->0)((1+x)^(1/x)-e)/x=lim_(x->0)(e^(log(1+x)/x)-e)/x=lim_(x->0)e((e^((log(1+x)-x)/x)-1)/x)=lim_(x->0)e((e^((log(1+x)-x)/x)-1)/((log(1+x)-x)/x))(log(1+x)-x)/x^2=lim_(x->0)e*(log(1+x)-x)/x^2=lim_(x->0)e(-x^2/2)/x^2=-e/2$
dove, il tuo libro ti fa notare che la funzione $(log(1+x)-x)$ è infinitesima di ordine superiore al primo (ovvero per $x->0$ essa tende a 0 più velocemente di $x$ e quindi il termine complessivo $(log(1+x)-x)/x$ tende a zero) il che ti permette di sfruttare il limite notevole dell'esponenziale. Per la medesima ragione, ovvero essendo le funzioni a numeratore e denominatore di $(log(1+x)-x)/x^2$ infinitesimi dello stesso ordine il loro rapporto è finito e pari ad -1/2. Tutto questo si fa vedere sviluppando in serie di Taylor la funzione $log(1+x)$. In definitiva, per rispondere al tuo primo quesito, devi sviluppare in serie di Taylor la suddetta funzione (se non conosci gli sviluppi non è mai tardi per imparare); per il secondo, il fattore $x^2$ compare in quanto precedentemente ti eri dimenticato il fattore $x$ a denominatore.
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